Класичний і статистичний методи визначення ймовірності випадкової події

Імовірність випадкової події можна визначити класичним методом тільки в обмеженому числі явищ, а саме, якщо наслідки досліду мають наступні властивості:

утворюють повну групу - якщо результатом однократного випробування є обов'язково один з можливих наслідків;

є рівноможливими - якщо за умовами симетрії досліду поява кожного з них однаково можлива;

є несумісними - якщо будь-які два з них не можуть відбутися одночасно.

Якщо наслідки досліду мають перелічені властивості (утворюють повну групу, є несумісними й рівноможливими), то говорять, що дослід зводиться до схеми випадків, або що має місце класична схема теорії ймовірностей. У рамках цієї схеми можна точно підрахувати імовірність події, не проводячи випробувань. Якщо дослід зводиться до схеми випадків, то імовірність події визначається як відношення числа можливих наслідків досліду, що сприяють появі події А, до загального числа можливих наслідків досліду

, або (1.1)

де n (абоN) - загальне число можливих наслідків досліду; m (абоN(A) - число наслідків досліду, що сприяють появі події А.

Якщо події в досліді не зводяться до схеми випадків, то оцінку імовірності можна зробити тільки статистично. Спостерігаючи випадкові явища або проводячи випробування, визначають частоту появи даної події. При проведенні серії з n дослідів, у кожному з яких могла з'явитися або не з'явитися подія A, під частотою її появи розуміють відношення

(1.2)

де n - число проведених дослідів; m - число появ події А в n дослідах.

Результат кожного досліду є випадковим, однак якщо спостережуване явище має статистичну однорідність, то при великій кількості дослідів частота події починає стабілізуватися і прагне до ймовірності події. Це властивість стійкості частот, багаторазово перевірена експериментально, і є одна з найбільш характерних закономірностей, спостережуваних у випадкових явищах. Вона відома за назвою закону великих чисел. Бернуллі довів, що

. (1.3)

Вираз (1.3) читається так: частота події а із збільшенням числа дослідів n сходиться за імовірністю до імовірності події а.

Питання для самоконтролю

Дати відповіді на тести

2. Подія, яка в результаті випробування неодмінно відбудеться:

а) неможлива подія; б) випробування;

в) достовірна подія; г) елементарна подія.

3 Подія, яка в в даному випробуванні не може відбутись:

а) неможлива подія; б) випробування;

в) достовірна подія; г) елементарна подія.

4. Подія А, така що якщо в результаті випробування відбувається як подія В, так і подія С, називається:

а) добутком подій А і В; б) сумою подій А і В;

в) різницею подій А і В; г) простором елементарних подій.

5. Подія А, така що якщо при випробуванні відбувається принаймні одна з цих подій, називається:

а) добутком подій А і В; б) сумою подій А і В;

в) різницею подій А і В; г) простором елементарних подій.

6. Подія А, така що А = В – С, або якщо відбувається подія В і не відбувається подія С, називається:

а) добутком подій А і В; б) сумою подій А і В;

в) різницею подій А і В; г) простором елементарних подій.

7. Протилежними називаються події , якщо вони:

а) несумісні; б) утворюють повну групу подій;

в) сумісні; г) несумісні і утворюють повну групу подій.

8. Імовірністю випадкової події А називається:

а) можливість настання певної події за певних умов;

б) відношення кількості елементарних подій, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій ;

в) числова міра;

г) реальний або мислений експеримент (виконуваний за певної незмінної сукупності умов), результати якого піддаються спостереженню.

КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ

Варіант 1

1.З 30 лотерейних білетів 2 виграшних. Навмання вибирають 4 білети. Знайти ймовірність того, що хоча б один з них виграшний.

2. Підкидають 2гральних кубіки. Яка ймовірність того, що сума буде 8 очок.

3.На підприємство надходить сировина від трьох постачальників П_1, П_2, П_3, причому на частку П₁ припадає 60% об’єму поставок, на П₂ і на _, П₃ –по 20%. Із практики відомо, що від П₁ надходить 6% некондиційної сировини, відП₂ – 5%, а від П₃ --4%. Яка ймовірність того, що випадково взята некондиційна сировина надійшла від П₁?

Варіант 2

1.В ящику 20 деталей, з яких 4 бракованих. Взяли 5 деталей. Знайти ймовірність того, що серед них буде не більше однієї нестандартної.

2.Серед 15 студентів розігрується 5 білетів. Знайти ймовірність того, що серед тих, хто отримав білети будуть 5дівчат, якщо дівчат у групі 8.

3.Вершкове масло фасується на двох технологічних лініях маслозаводу. Ймо-вірність виходу кондиційної продукції з першої лінії дорівнює 0,92, а з другої –0,95. Навмання взятий пакет масла виявився кондиційним.Яка ймовірність того, що він розфасований на а) першій лінії; б) другій лінії?

Варіант 3

1.В урні 12 білих і 7 червоних куль. Навмання вибирають 4 кулі. Знайти ймовірність того, що серед них буде не більше двох червоних.

2.На 100 картках написані цифри від 1 до 100. Визначити ймовірність того, що на випадково взятій картці буде цифра «7».

3.Погіршення якості продукції може бути викликано трьома причинами П_1, П_2, П₃ з відповідними ймовірностями 0,4; 0,3; 0,3. Для уточнення причини проводиться додатковий аналіз, який дає позитивний результат з ймовірностями, що дорівнюють відповідно 0,5; 0,6; 0,4. Аналіз дав позитивний результат. Визначити найбільш вірогідну з причин погіршення якості продукції.

Варіант4

1.Знайти ймовірність того, що наудачу взяте двозначне число буде кратним 5-и або 7-и або і 5-и і 7-и одночасно.

2.У ряд в якому 12 місць випадково сідають 12 чоловік. Знайти ймовірність того, що певні 2 чоловіки опиняться поруч.

3.На склад надходить продукція з 4-х конвеєрних ліній, причому частка кожної з них відповідно дорівнює 30, 20, 40 і 10%. Відомо, що ймовірність браку для цих ліній становить відповідно 1,5; 1,0; 0,5 і 2%. Знайти ймовірність того,що взята навмання одиниця продукції а) не має браку; б) не має браку і належить першій конвеєрній лінії.

Варіант5

1.З 24-х екзаменаційних питань студент досконально знає 17. В білет входять 3 питання. Знайти ймовірність того, що він витягне білет в якому знає хоча б одне питання.

2.В урні знаходиться 15 червоних і 5 білих куль. Із урни взяли 2 кулі. Обчислити ймовірності можливих при цьому результатів.

3.Продукція перевіряється на стандартність одним з двох контролерів, продуктивність праці яких відноситься як 3:2. I контролер визнає що стандартна продукція є стандартною з ймовірністю 0,93, а II – з ймовірністю 0,92. Стандартна продукція під час перевірки була визнана стандартною. Знайти ймовірність того, що її перевірив: а) I контролер, б) IIконтролер.

Варіант6

1.В урні містяться 12 білих і 8 чорних куль. Знайти ймовірність того, що 2 з 3-х вийнятих навмання куль будуть одного кольору.

2.8 студентів домовились їхати одним електропоїздом, але не договорились про вагони. Знайти ймовірність того, що ні один з них не зустрінеться з іншим, якщо в поїзді 8 вагонів.

3.У трьох контейнерах містяться пляшки з мінеральною водою. У першому 2% некондиційних пляшок, у другому – 1,5%, у третьому – 3%. З навмання вибраного контейнера взято одну пляшку з водою. Знайти ймовірність того, що а)пляшка некондиційна, б) некондиційну пляшку взято з другого контейнера.

Самостійна робота № 3 (6год)

Тема: Послідовні незалежні випробування

Мета: визначити поняття незалежних випробувань, біномного розподілу, ознайомлення з граничними теоремами для схеми Бернуллі, розвивати поняття функцій, вміння розвязувати задачі, виховувати вміння самостійно працювати з навчальною літературою.

План:

1.Схема Бернуллі. Біномний розподіл

2. Найімовірніше число успіхів у схемі Бернуллі

3. Граничні теореми для схеми Бернуллі

Перелік посилань:

1. Валєєв К. Г., Джалладова І. А. Збірник задач з теорії ймовірностей та математичної статистики: Навч. посіб. — К.: КНЕУ, 2005. — 284 с. [22-27]

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высш. школа, 2004. – 479 с. [55-62]

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высш. школа, 2005. – 404 с. [46-61]

4. Іванюта І.Д. та ін. Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики. – К.: Слово, 2003. – 272 с. [40-47]

5. Шефтель З. Г. Теорія ймовірностей: Підручник для пед. навч. закладів. - 2-е вид.. - К.: Вища шк., 1994. - 193 с.[57-80]