Приклади розв’язку задач
Приклад 1 Із партії, в якій 12 стандартних і 4 нестандартні деталі, навмання беруться 3 деталі з поверненням. Знайти ймовірність того, що серед узятих деталей: усі три стандартні; 2) не більш як одна нестандартна; принаймні одна нестандартна.
Розв’язання
Маємо
схему трьох незалежних випробувань.
Нехай подія А
— «узята щоразу деталь стандартна»,
тоді
Імовірності обчислюватимемо за формулою
Бернуллі:
Подію «із трьох деталей не більш як одна нестандартна» можна розглядати так: узято 3 стандартні деталі або 2 стандартні і одну нестандартну деталь. У позначеннях формули Бернуллі
Протилежною для даної буде подія «усі три деталі стандартні». Їй рівносильна подія
Обчислимо цю ймовірність:
Приклад 2. Частка довгих волокон у партії бавовни становить у середньому 0,6 загальної кількості волокон. Скільки потрібно взяти волокон, щоб найімовірніше число довгих волокон серед них дорівнювало 40?
Розв’язання
Скористаємося
формулою, за якою визначається
найімовірніше число:
Підставимо сюди значення відомих
величин:
з
відси
і
Задача має два розв’язки: n = 66 i n = 67.
Приклад 3. На кожні 40 відштампованих виробів у середньому припадає 4 дефектних. Із усієї продукції навмання узято 400 виробів. Знайти ймовірність того, що серед них 350 виробів будуть без дефектів.
Розв’язання
Подія А — «узято виріб без дефекту». За умовою Р(А) = р = 0,9. Проведено n = 400 незалежних випробувань. Розв’яжемо задачу за формулою локальної теореми Лапласа:
Підставляючи дані
за умовою задачі, дістаємо
За таблицями
знаходимо
беручи до уваги, що
— парна функція.
Отже,
Приклад 4 В результаті вакцинації імунітет від захворювання формується з ймовірністю 0,999. Вакцинацію пройшли 4000 дітей. Яка ймовірність того, імунітету не набуло двоє дітей?
Розв’язання. Ймовірність події „ненабуття імунітету”, яку позначимо N, як події протилежної до події „набуття імунітету”, яку позначимо I, становить
Оскільки число випробувань велике (4000) і ймовірність події „ненабуття імунітету” постійна і достатньо мала (0,001), то можна вважати, що число дітей, що не набули імунітету, описується розподілом Пуассона (закон рідкісних подій).
Ймовірність m-разового здійснення у серії з n випробувань випадкової події, яка має розподіл Пуассона, визначається за формулою Пуассона:
,
n – число випробувань,
p – ймовірність здійснення події.
У нас n=4000, m=2, p=0,001, λ=4000·0,001=4. Підставляючи чисельні значення до формули Пуассона, знаходимо:
Питання для самоконтролю
1Якого типу задачі розв’язуються за формулою Бернуллі?
2 Формула Бернуллі має вигляд
а)
б)
в)
г)
3 Сформулювати локальну теорему Муавра-Лапласа
4 Сформулювати інтегральну теорему Муавра-Лапласа
5 Сформулювати теорему Пуассона
КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ
Варіант 1
1 На кожні 30 штампованих виробів у середньому припадає 6 виробів з дефектом. Знайти ймовірність того, що з 5 навмання взятих виробів 3 виявляться без дефекту.
2 Посівний фонд містить 92 % насіння 1-го сорту. Навмання взято 150 зерен. Знайти ймовірність того, що серед них 140 зерен 1-го сорту.
3 Радіостанція протягом дня транслює 300 музичних програм. Яка ймовірність того, що не менш як 150 з них виконуються англійською мовою, коли відомо, що англомовні програми становлять 80 % репертуару радіостанції?
Варіант 2
1 Монету кидають шість раз. Яка ймовірність того, що «герб» випаде 2 рази?
2 Яка ймовірність того, що подія А наступить 1000 раз у 1300 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні ставить 0,8?
3 Ймовірність того, що відвідувач магазину зробить покупку дорівнює 0,4. Знайти ймовірність, що із 100 відвідувачів покупку зроблять не менше 20.
Варіант 3
1 Два рівносильних шахісти грають у шахи. Що ймовірніше: виграти три партії з шести чи дві партії з чотирьох?
2 Імовірність того, що навмання взята електрична лампочка відпрацює передбачений стандартом термін, дорівнює 0,95. Знайти ймовірність того, що з 400 придбаних лампочок хоча б 370 відпрацюють передбачений стандартом час, а також найімовірнішу кількість таких лампочок.
3 Серед автомобілів, то ввозяться в Україну, 80 % становлять легкові. Протягом дня на митницю прибуло 40 автомобілів. Яка ймовірність того, що не більш як 9 з них легкові?
Варіант4
1 У сім’ї п’ятеро дітей. Якак ймовірність того, що серед них не більше двох дівчаток? (ймовірність народження дівчинки становить 0,49)
2 Прилад складається із 10 незалежно працюючих елементів. Ймовірність відмови елемента в момент ввімкнення приладу дорівнює 0,1. Знайти ймовірність найімовірнішої кількості елементів, що відмовили.
3 Ймовірність того, що інвестиційний проект принесе прибуток складає 0,7. Визначити ймовірність того, що із 20 проектів не менше 2-х виявляться прибутковими.
Варіант5
1 Монету кидають 30 разів. Знайти ймовірність того, що «герб» випаде на два рази більше.
2 Два рівносильних гравці грають у шахи. Знайти найімовірніше число виграшів для будь-якого шахіста, якщо вони зіграють 10 результативних партій.
3 Відомо, що три чверті населення міста користується послугами кабельного телебачення. Яка ймовірність того, що серед 300 мешканців такими послугами користується хоча б 230?
Варіант6
1 Ймовірність виграшу облігації за весь період позики становить 0,6. Куплено 5 облігацій. Знайти ймовірність такої події:
а) виграють дві облігації;
б) виграш випаде принаймні на одну облігацію;
в) виграють не більш як дві облігації.
2 Два стрілка одночасно стріляють по мішені. Ймовірність влучити в мішень при одному пострілі для першого стрілка дорівнює 0,7, а для другого – 0,8. Знайти найімовірнішу кількість залпів, при яких обидва стрілки влучать у мішень, якщо буде зроблено 100 пострілів.
3 У середньому 30 % акцій видавничих фірм протягом року стають збитковими. Яка ймовірність того, що серед 140 акцій цих фірм збитковими будуть менш як 40?
Додатки
Імовірність
,
,
розподілу Пуассона
-
m
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0
0,90484
0,81873
0,74082
0,67032
0,60653
0,54881
0,49659
0,44933
1
0,09048
0,16375
0,22225
0,26813
0,30327
0,32929
0,34761
0,35946
2
0,00452
0,01637
0,03334
0,05363
0,07582
0,09879
0,12166
0,14379
3
0,00015
0,00109
0,00333
0,00715
0,01264
0,01976
0,02839
0,03834
4
0,00005
0,00025
0,00072
0,00158
0,00296
0,00497
0,00767
5
0,00002
0,00006
0,00016
0,00036
0,00070
0,00123
6
0,00001
0,00004
0,00008
0,00016
7
0,00002
-
m
0,9
1
2
3
4
5
6
0
0,40657
0,36788
0,13534
0,04979
0,01832
0,00674
0,00248
1
0,36591
0,36788
0,27067
0,14936
0,07326
0,03369
0,01487
2
0,16466
0,18394
0,27067
0,22404
0,14653
0,08422
0,04462
3
0,04940
0,06131
0,18045
0,22404
0,19537
0,14037
0,08924
4
0,01111
0,01533
0,09022
0,16803
0,19537
0,17547
0,13385
5
0,00200
0,00307
0,03609
0,10082
0,15629
0,17547
0,16062
6
0,00030
0,00051
0,01203
0,05041
0,10420
0,14622
0,16062
7
0,00004
0,00007
0,00344
0,02160
0,05954
0,10444
0,13768
8
0,00086
0,00810
0,2977
0,06528
0,10326
9
0,00019
0,00270
0,01323
0,03627
0,06884
10
0,00004
0,00081
0,00529
0,01813
0,04130
11
0,00022
0,00192
0,00824
0,02253
12
0,00006
0,00064
0,00343
0,01126
13
0,00020
0,00132
0,00520
14
0,00006
0,00047
0,00223
15
0,00002
0,00016
0,00089
16
0,00005
0,00033
17
0,00001
0,00012
18
0,00004
19
0,00001
-
m
7
8
9
10
11
12
13
0
0,00091
0,00034
0,00012
0,00005
0,00002
1
0,00638
0,00268
0,00111
0,00045
0,00018
0,00007
0,00003
2
0,02234
0,01073
0,00500
0,00227
0,00101
0,00044
0,00019
3
0,05213
0,02863
0,01499
0,00757
0,00370
0,00177
0,00083
4
0,09123
0,05725
0,03374
0,01892
0,01019
0,00531
0,00269
5
0,12772
0,09160
0,06073
0,03783
0,02242
0,01274
0,00699
6
0,14900
0,12214
0,09109
0,06306
0,04109
0,02548
0,01515
7
0,14900
0,13959
0,11712
0,09008
0,06458
0,04368
0,02814
8
0,13038
0,13959
0,13176
0,11260
0,08879
0,06552
0,04573
9
0,10140
0,12408
0,13176
0,12511
0,10853
0,08736
0,06605
10
0,07098
0,09926
0,11858
0,12511
0,11938
0,10484
0,08587
11
0,04517
0,07219
0,09702
0,11374
0,11938
0,11437
0,10148
12
0,02635
0,04813
0,07277
0,09478
0,10943
0,11437
0,10994
13
0,01419
0,02962
0,05038
0,07291
0,09259
0,10557
0,10994
14
0,00709
0,01692
0,03238
0,05208
0,07275
0,09049
0,10209
15
0,00331
0,00903
0,01943
0,3472
0,05335
0,07239
0,08848
16
0,00145
0,00451
0,01093
0,2170
0,03668
0,05429
0,07189
17
0,00060
0,00212
0,00579
0,01276
0,02373
0,03832
0,05497
18
0,00023
0,00094
0,00289
0,00709
0,01450
0,02555
0,03970
19
0,00009
0,00040
0,00137
0,00373
0,00840
0,01614
0,02716
20
0,00003
0,00016
0,00062
0,00187
0,00462
0,00968
0,01766
21
0,00006
0,00026
0,00089
0,00242
0,00553
0,01093
22
0,00002
0,00011
0,00040
0,00121
0,00302
0,00646
23
0,00004
0,00018
0,00058
0,00157
0,00365
24
0,00002
0,00007
0,00027
0,00079
0,00198
25
0,00003
0,00012
0,00038
0,00103
26
0,00001
0,00005
0,00017
0,00051
27
0,00002
0,00008
0,00025
28
0,00003
0,00011
29
0,00001
0,00005
30
0,00002
-
m
14
15
16
17
18
19
20
0
1
0,00001
2
0,00008
0,00003
0,00001
3
0,00038
0,00017
0,00008
0,00003
0,00001
4
0,00133
0,00065
0,00031
0,00014
0,00007
0,00003
0,00001
5
0,00373
0,00194
0,00098
0,00049
0,00024
0,00012
0,00005
6
0,00870
0,00484
0,00262
0,00139
0,00072
0,00037
0,00018
7
0,01739
0,01037
0,00599
0,00337
0,00185
0,00099
0,00052
8
0,03044
0,01944
0,01199
0,00716
0,00416
0,00236
0,00131
9
0,04734
0,03241
0,02131
0,01353
0,00833
0,00498
0,00291
10
0,06628
0,04861
0,03410
0,02300
0,01499
0,00947
0,00582
11
0,08436
0,06629
0,04960
0,03554
0,02452
0,01635
0,01058
12
0,09842
0,08286
0,06613
0,05036
0,03678
0,02589
0,01763
13
0,10599
0,09561
0,08139
0,06585
0,05093
0,03784
0,02712
14
0,10599
0,10244
0,09302
0,07996
0,06548
0,05135
0,03874
15
0,09892
0,10244
0,09922
0,09062
0,07858
0,06504
0,05165
16
0,08656
0,09603
0,09922
0,09628
0,08840
0,07724
0,06456
17
0,07128
0,08474
0,09338
0,09628
0,09360
0,08633
0,07595
18
0,05544
0,07061
0,08301
0,09094
0,09360
0,09112
0,08439
19
0,04085
0,05575
0,06990
0,08136
0,08867
0,09112
0,08884
20
0,02860
0,04181
0,05592
0,06916
0,07980
0,08657
0,08884
21
0,01906
0,02986
0,04261
0,05599
0,06840
0,07832
0,08461
22
0,01213
0,02036
0,03099
0,04326
0,05597
0,06774
0,07691
23
0,00738
0,01328
0,02156
0,03198
0,04380
0,05588
0,06688
24
0,00431
0,00830
0,01437
0,02265
0,03285
0,04424
0,05573
25
0,00241
0,00498
0,00920
0,01540
0,02365
0,03362
0,04459
26
0,00130
0,00287
0,00566
0,01007
0,01637
0,02457
0,03430
27
0,00067
0,00160
0,00335
0,00634
0,01092
0,01729
0,02541
28
0,00034
0,00086
0,00192
0,00385
0,00702
0,01173
0,01815
29
0,00016
0,00044
0,00106
0,00226
0,00436
0,00769
0,01252
30
0,00008
0,00022
0,00056
0,00128
0,00261
0,00487
0,00834
31
0,00003
0,00011
0,00029
0,00070
0,00152
0,00298
0,00538
m
14
15
16
17
18
19
20
32
0,00001
0,00005
0,00015
0,00037
0,00085
0,00177
0,00336
33
0,00002
0,00007
0,00019
0,00047
0,00102
0,00204
34
0,00001
0,00003
0,00010
0,00025
0,00057
0,00120
35
0,00002
0,00005
0,00013
0,00031
0,00069
36
0,00002
0,00006
0,00016
0,00038
37
0,00001
0,00003
0,00008
0,00021
38
0,00001
0,00004
0,00011
39
0,00002
0,00006
40
0,00003
41
0,00001
значення
функції
-
х
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.0
0,3989
0,3989
0,3989
0,3988
0,3986
0,3984
0,3982
0,3980
0,3977
0,3973
0.1
0,3970
0,3965
0,3961
0,3956
0,3951
0,3945
0,3939
0,3932
0,3925
0,3918
0.2
0,3910
0,3902
0,3894
0,3885
0,3876
0,3867
0,3857
0,3847
0,3836
0,3825
0.3
0,3814
0,3802
0,3790
0,3778
0,3765
0,3752
0,3739
0,3725
0,3712
0,3697
0.4
0,3683
0,3668
0,3653
0,3637
0,3621
0,3605
0,3589
0,3572
0,3555
0,3538
0.5
0,3521
0,3503
0,3485
0,3467
0,3448
0,3429
0,3410
0,3391
0,3372
0,3352
0.6
0,3332
0,3312
0,3292
0,3271
0,3251
0,3230
0,3209
0,3187
0,3166
0,3144
0.7
0,3123
0,3101
0,3079
0,3056
0,3034
0,3011
0,2989
0,2966
0,2943
0,2920
0.8
0,2897
0,2874
0,2850
0,2827
0,2803
0,2780
0,2756
0,2732
0,2709
0,2685
0.9
0,2661
0,2637
0,2613
0,2589
0,2565
0,2541
0,2516
0,2492
0,2468
0,2444
1.0
0,2420
0,2396
0,2371
0,2347
0,2323
0,2299
0,2275
0,2251
0,2227
0,2203
1.1
0,2179
0,2155
0,2131
0,2107
0,2083
0,2059
0,2036
0,2012
0,1989
0,1965
1.2
0,1942
0,1919
0,1895
0,1872
0,1849
0,1826
0,1804
0,1781
0,1758
0,1736
1.3
0,1714
0,1691
0,1669
0,1647
0,1626
0,1604
0,1582
0,1561
0,1539
0,1518
1.4
0,1497
0,1476
0,1456
0,1435
0,1415
0,1394
0,1374
0,1354
0,1334
0,1315
1.5
0,1295
0,1276
0,1257
0,1238
0,1219
0,1200
0,1182
0,1163
0,1145
0,1127
1.6
0,1109
0,1092
0,1074
0,1057
0,1040
0,1023
0,1006
0,0989
0,0973
0,0957
1.7
0,0940
0,0925
0,0909
0,0893
0,0878
0,0863
0,0848
0,833
0,0818
0,0804
1.8
0,0790
0,0775
0,0761
0,0748
0,0734
0,0721
0,0707
0,694
0,0681
0,0669
1.9
0,0656
0,0644
0,0632
0,0620
0,0608
0,0596
0,0584
0,0573
0,0562
0,0551
2.0
0,0540
0,0529
0,0519
0,0508
0,0498
0,0488
0,0478
0,0468
0,0459
0,0449
2.1
0,0440
0,0431
0,0422
0,0413
0,0404
0,0396
0,0387
0,0379
0,0371
0,0363
2.2
0,0355
0,0347
0,0339
0,0332
0,0325
0,0317
0,0310
0,0303
0,0297
0,0290
2.3
0,0283
0,0277
0,0270
0,0264
0,0258
0,0252
0,0246
0,0241
0,0235
0,0229
2.4
0,0224
0,0219
0,0213
0,0208
0,0203
0,0198
0,0194
0,0189
0,0184
0,0180
2.5
0,0175
0,0171
0,0167
0,0163
0,0158
0,0154
0,151
0,0147
0,0143
0,0139
2.6
0,0136
0,0132
0,0129
0,0126
0,0122
0,0119
0,0116
0,0113
0,0110
0,0107
2.7
0,0104
0,0101
0,0099
0,0096
0,0093
0,0091
0,0088
0,0086
0,0084
0,0081
2.8
0,0079
0,0077
0,0075
0,0073
0,0071
0,0069
0,0067
0,0065
0,0063
0,0061
2.9
0,0060
0,0058
0,0056
0,0055
0,0053
0,0051
0,0050
0,0048
0,0047
0,0046
3.0
0,0044
0,0043
0,0042
0,0040
0,0039
0,0038
0,0037
0,0036
0,0035
0,0034
3.1
0,0033
0,0032
0,0031
0,0030
0,0029
0,0028
0,0027
0,026
0,0025
0,0025
3.2
0,0024
0,0023
0,0022
0,0022
0,0021
0,0020
0,0020
0,0019
0,0018
0,0018
3.3
0,0017
0,0017
0,0016
0,0016
0,0015
0,0015
0,0014
0,0014
0,0013
0,0013
3.4
0,0012
0,0012
0,0012
0,0011
0,0011
0,0010
0,0010
0,0010
0,0009
0,0009
3.5
0,0009
0,0008
0,0008
0,0008
0,0008
0,0007
0,0007
0,0007
0,0007
0,0006
3.6
0,0006
0,0006
0,0006
0,0005
0,0005
0,0005
0,0005
0,0005
0,0005
0,0004
3.7
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
3.8
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
3.9
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0001
0,0001
значення
функції Лапласа
-
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
0,0000 0,0398 0,0793 0,1179 0,1554 0,1915 0,2257 0,2580 0,2881 0,3159 0,3413 0,3643 0,3849 0,4032 0,4192 0,4332 0,4452 0,4554 0,4641 0,4713 0,4772 0,4821 0,4861 0,4893 0,4918 0,4938 0,4953 0,4965 0,4974 0,4981 0,4986 0,4990 0,4993 0,4995 0,4997 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,5000
0,0040 0,0438 0,0832 0,1217 0,1591 0,1950 0,2291 0,2611 0,2910 0,3186 0,3438 0,3665 0,3869 0,4049 0,4207 0,4345 0,4463 0,4564 0,4649 0,4719 0,4778 0,4826 0,4864 0,4896 0,4920 0,4940 0,4955 0,4966 0,4975 0,4982 0,4987 0,4991 0,4993 0,4995 0,4997 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,5000
0,0080 0,0478 0,0871 0,1255 0,1628 0,1985 0,2324 0,2642 0,2939 0,3212 0,3461 0,3686 0,3888 0,4066 0,4222 0,4357 0,4474 0,4573 0,4656 0,4726 0,4783 0,4830 0,4868 0,4898 0,4922 0,4941 0,4956 0,4967 0,4976 0,4982 0,4987 0,4991 0,4994 0,4995 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000
0,0120 0,0517 0,0910 0,1293 0,1664 0,2019 0,2357 0,2673 0,2967 0,3238 0,3485 0,3708 0,3907 0,4082 0,4236 0,4370 0,4484 0,4582 0,4664 0,4732 0,4788 0,4834 0,4871 0,4901 0,4925 0,4943 0,4957 0,4968 0,4977 0,4983 0,4988 0,4991 0,4994 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000
0,0160 0,0557 0,0948 0,1331 0,1700 0,2054 0,2389 0,2704 0,2995 0,3264 0,3508 0,3729 0,3925 0,4099 0,4251 0,4382 0,4495 0,4591 0,4671 0,4738 0,4793 0,4838 0,4875 0,4904 0,4927 0,4945 0,4959 0,4969 0,4977 0,4984 0,4988 0,4992 0,4994 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000
0,0199 0,0596 0,0987 0,1368 0,1736 0,2088 0,2422 0,2734 0,3023 0,3289 0,3531 0,3749 0,3944 0,4115 0,4265 0,4394 0,4505 0,4599 0,4678 0,4744 0,4798 0,4842 0,4878 0,4906 0,4929 0,4946 0,4960 0,4970 0,4978 0,4984 0,4989 0,4992 0,4994 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000
0,0239 0,0636 0,1026 0,1406 0,1772 0,2123 0,2454 0,2764 0,3051 0,3315 0,3554 0,3770 0,3962 0,4131 0,4279 0,4406 0,4515 0,4608 0,4686 0,4750 0,4803 0,4846 0,4881 0,4909 0,4931 0,4948 0,4961 0,4971 0,4979 0,4985 0,4989 0,4992 0,4994 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000
0,0279 0,0675 0,1064 0,1443 0,1808 0,2157 0,2486 0,2794 0,3078 0,3340 0,3577 0,3790 0,3980 0,4147 0,4292 0,4418 0,4525 0,4616 0,4693 0,4756 0,4808 0,4850 0,4884 0,4911 0,4932 0,4949 0,4962 0,4972 0,4979 0,4985 0,4989 0,4992 0,4995 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000
0,0319 0,0714 0,1103 0,1480 0,1844 0,2190 0,2517 0,2823 0,3106 0,3365 0,3599 0,3810 0,3997 0,4162 0,4306 0,4429 0,4535 0,4625 0,4699 0,4761 0,4812 0,4854 0,4887 0,4913 0,4934 0,4951 0,4963 0,4973 0,4980 0,4986 0,4990 0,4993 0,4995 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000
0,0359 0,0753 0,1141 0,1517 0,1879 0,2224 0,2549 0,2852 0,3133 0,3389 0,3621 0,3830 0,4015 0,4177 0,4319 0,4441 0,4545 0,4633 0,4706 0,4767 0,4817 0,4857 0,4890 0,4916 0,4936 0,4952 0,4964 0,4974 0,4981 0,4986 0,4990 0,4993 0,4995 0,4997 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000
Самостійна робота № 4 (14 год)