35

ЧЕРНІГІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ КОЛЕДЖ ТРАНСПОРТУ ТА КОМП’ЮТЕРНИХ ТЕХНОЛОГІЙ

ЗАТВЕРДЖУЮ

Голова методичної ради

коледжу

___________ В.М.Радченко

«___» _____2016р.

МЕТОДИЧНИЙ ПОСІБНИК

до самостійного вивчення дисципліни « Теорія ймовірностей та математична статистика»

для студентів спеціальності 5.05010101

СХВАЛЕНО

Протокол засідання

циклової комісії

«___» ____ 2016р. №___

2016р

ЗМІСТ

1 Пояснювальна записка________________________________________ 3

2 Витяг з програми _____________________________________________4

3 Зміст самостійних робіт ________________________________________5-35

1 Пояснювальна записка

Посібник для самостійної роботи студентів спеціальності 5.05010101 «Обслуговування програмних систем і комплексів» складено на підставі робочої навчальної програми дисципліни « Теорія ймовірностей та математична статистика».

Програма дисципліни розрахована на 108годин, з яких 56 годин аудиторних і 52 години відведено на самостійне опрацювання.

По кожній темі дається загальний план – теоретичний матеріал, яким повинен оволодіти студент для виконання практичних завдань (контрольні завдання).

Так як кількість аудиторних занять дисципліни досить мала,то мета даного посібника - поглибити теоретичні знання і виробити навички розв’язування прикладів з основних розділів курсу.

Контроль виконання самостійної роботи здійснюється перевіркою контрольних завдань.

2 Витяг з робочої програми

№ п-п	Тема дисципліни	Кількість годин
1	Елементи комбінаторики	4
2	Випадкової події та ймовірності	14
3	Послідовні незалежні випробування.	6
4	Випадкові величини	14
5	Елементи математичної статистики.	14
	Усього	52 год

Самостійна робота № 1 (4год)

Тема: Елементи комбінаторики

Мета: ознайомити з понятійним апаратом комбінаторики, розвивати вміння застосовувати отримані теоретичні знання до розв’язків комбінаторних задач, виховувати вміння самостійно працювати з навчальною літературою

План

1 Предмет комбінаторики, історія розвитку

2 Розміщення, перестановки, комбінації без повторень

3 Розміщення, перестановки, комбінації з повтореннями

4 Формула включень та виключень

Перелік посилань:

1. Валєєв К. Г., Джалладова І. А. Збірник задач з теорії ймовірностей та математичної статистики: Навч. посіб. — К.: КНЕУ, 2005. — 284 с. [3-6]

2. Іванюта І.Д. та ін. Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики. – К.: Слово, 2003. – 272 с. [4-9]

3. Шефтель З. Г. Теорія ймовірностей: Підручник для пед. навч. закладів. - 2-е вид.. - К.: Вища шк., 1994. - 193 с.[4-10]

Теоретичні відомості

Комбінаторика - це наука про загальні закони комбінування деяких об'єктів.

Із завданнями в яких доводиться вибирати ті чи інші предмети, розташовувати їх в певному порядку і відшукувати серед різних розташувань найкращі, люди зіткнулися ще в доісторичну епоху, вибираючи найкраще розташування мисливців на полюванні, найкраще розташування воїнів під час битви.

Комбінаторні навички виявилися корисними і в години дозвілля. Адже для ігор в нарди, шашки, шахи, які з'явилися пізніше доводилося розглядати різні поєднання пересуваються фігур і вигравав той, хто їх краще вивчив, знав виграшні комбінації і вмів уникати програють комбінацій.

З комбінаторикою люди стикалися в усьому світі. У Китаї перша згадка про завдання, близьких до комбінаторним зустрічається в китайських рукописах, що відносяться до 12-13 вв до н.е. У цих книгах писалося, що все в світі є з'єднанням двох начал - чоловічого і жіночого, що автори позначали символами-рисочками різної довжини

У знаменитій китайській «Книзі змін» показані різні з'єднання цих знаків шість, розміщених в самих різних комбінаціях, наприклад: : , , , тощо.

По теорії «Книги Змін», весь світовий процес являє собою чергування ситуацій, що походить від взаємодії і боротьби сил світла й темряви, напруги і податливості, і кожна з таких ситуацій символічно виражається одним з цих знаків, яких в «Книзі Змін» всього 64. Вони розглядаються як символи дійсності і називаються гексаграмами.

Комбінаторика розвивалася і в Стародавній Греції. Хоча говорити про рівень комбінаторних знань стародавніх греків скрутно, оскільки Олександрійська бібліотека, в якій були зібрані більшість наукових книг - практично всі наукова спадщина того часу, яке налічує багато тисяч томів, загинула при взятті Олександрії. І ми можемо тільки здогадуватися про зміст тих книг по коротким переказам і натяків в збережених рукописах. За цим натякам все ж можна судити про те, що певні уявлення про комбінаторику у грецьких учених все ж були.

 Комбінаторикою займались астрологи. Їх цікавило питання про рух планет і їх вплив на долі людей. Особливе значення вони надавали сполученням планет - зустрічам різних планет в одному знакові Зодіаку. Астролог бен Езра 1140 р розрахував кількість поєднань семи планет по дві, по три і т.п. Він знав, що число поєднань планет по дві дорівнює числу їх поєднань по п'ять, а число їх поєднань по три дорівнює числу їх поєднань по чотири. Остаточну формулу для підрахунку числа поєднань вивів математик Гершон, що жив на початку 14 в. Однак його робота, написана на малодоступному більшості вчених староєврейською мовою, залишилася майже непоміченою. Знову цю формулу вивів на початку 17в. французький математик Ерігон.

На початку 12 століття Західна Європа почала пробуджуватися від багатовікової духовної сплячки. Розвиток торгівлі з сходом призвело до проникнення в Європу арабської науки. Найбільш сміливі й допитливі європейці пробиралися в знаходилася під пануванням арабів Іспанію і знайомилися там не тільки з творіннями грецьких вчених, а й досягненнями арабської та індійської наукової думки.

Значний поштовх до розвитку комбінаторики дали азартні ігри, що існували ще в глибоку давнину, але отримали своє поширення після хрестових походів. Найбільшого поширення отримала гра в кості - два або три кубика з нанесеними на них очками викидали на стіл, і ставку брав який викинув велику суму очок гравець. В кістки грали всюди, виграючи і програючи в них золото, замки, дорогоцінні камені і коней. Атос - один з героїв «Трьох мушкетерів» - примудрився програти в кістки навіть свого слугу Гримо. Незважаючи на заборони церкви, гравці невпинно вправлялися в викиданні кісток. І вони помітили, що деякі суми випадали рідко, а інші частіше. Намагаючись зрозуміти. В чому справа, складали таблиці, що показують скількома способами можна отримати те чи інше число очок. На перших порах іноді допускалася помилка - підраховували лише число різних сполучень кісток, що давали дану суму. Наприклад, при киданні двох кісток сума 6 виходить з поєднань (1,5), (2,4), (3,3), а сума 7 - з поєднань (1,6), (2,5), (3, 4). Так як в обох випадках виходить три різних поєднання з даною сумою, то можна зробити хибний висновок, що суми очок 6,7 і 8 (також одержувана з поєднань трьох кісток) повинні випадати однаково часто. Але це суперечить досвіду - 7 очок випадає частіше. Справа в тому, що при киданні двох кісток поєднання (3,3) може бути отримано єдиним способом, а поєднання (3,4) -двома способами. Цим пояснюється велика частота випадання суми 7.

Таким чином, виявилося, що треба враховувати не тільки поєднання очок, але і їх порядок. Складнішими виявилися дослідження для трьох кісток. Тут при обліку порядку кісток виявляється 216 різних комбінацій, а без урахування порядку 56. Цими питаннями займалися такі відомі італійські математики 16 в. Як Кардано, Тарталья і ін. Найбільш повно досліджував це питання Галілео Галілей в 17 в.

Питаннями комбінаторики займалися Паскаль, Ферма, Лейбніц, Гіденбург. Не тільки азартні ігри давали їжу для комбінаторних вигадок математиків.

Ще з давніх пір дипломати прагнучи до таємниці листування, винаходили все більш і більш складні шифри, а секретні служби інших держав намагалися ці шифри розгадати. Одним з найпростіших шифрів була «Тарабарського грамота», в якій літери замінялися іншими за певними правилами. Однак такі шифри легко розгадувати за характерними сполученням букв. Тому стали застосовувати шифри, засновані на комбінаторних принципах, наприклад, на різних перестановках літер, замінах букв з використанням ключових слів і т.д. Для кодування та розшифровки залучались математики, що володіють комбінаторними здібностями.

Навички в розгадці шифрів допомогли вченим, коли археологи стали відкопувати камені і черепки з таємничими знаками - писемністю замовк кілька тисячоліть тому. Археологи піддавали тексти

омбінаторному аналізу. І лише Шампольону - вченому, що поєднував неабиякий комбінаторний дар з найглибшою знанням філології, вдалося прочитати ієрогліфи. Складність завдання полягала в тому, що Шампольону не були відомі ні мова написів, ні сенс знаків. Однак, виділивши знаки, які в грецькому тексті позначали імена царів, Шампольон виявив, що деякі знаки, які в грецькому тексті позначали імена царів і деякі знаки в іменах фараонів Птолемея і Клеопатри збігаються. Так були знайдені звучання ієрогліфів, що означають букви «п» і «л». Потім Шампольон прочитав імена римських імператорів Тіберія і Траяна, стародавніх фараонів Рамсеса і Тутмоса - ключ до читання ієрогліфів, загублений кілька тисячоліть тому, був знову здобутий. Це було торжество комбинаторного методу в читанні забутих писемностей, заснованих на спостереженнях над текстом, на співставленні повторюваності комбінацій слів і граматичних форм з міркуваннями, пов'язаними з призначенням написи, часом і умовами її складання.

Коли біологи стали вивчати передачу генетичної інформації у бактерій, то виявили, що в процесі цієї передачі хромосоми переходять від однієї бактерії до іншої не цілком. Вони сподівалися з'ясувати порядок розташування ген в хромосомі. Тут їх спіткала на перших порах невдача - карти хромосом, складені в різних лабораторіях, були несхожі один на одного. Однак ретельно порівнявши отримані карти, французькі вчені Жакоб і Вальмон виявили їх комбинаторну схожість. З'ясувалося, що всі ці карти були частинами одного кільця - хромосоми бактерій виявилися згорнутими в кільця, які перед переходом в іншу бактерію розриваються, після чого до одного кінця прикріплюється фактор, що перетягував частину хромосоми в іншу бактерію. А так як розірватися кільце могло в будь-якому місці, а фактор міг прикріпитися до будь-якого кінця, то і виникало все різноманіття карт, яке плутало картину.

Однією з найбільш складних загадок в біології 20 в. була будова «ниток життя» - молекул білка і нуклеїнових кислот. Виявилося, що молекули білка - це об'єднання кількох довгих ланцюгів, складених з 20 амінокислот. Щоб розгадати структуру хоча б одного ланцюга, її відділяють від інших і піддають дії ферментів, що розривають ланцюг на строго певні частини. Ці частини можна піддати хімічному аналізу і з'ясувати в них порядок амінокислот. Потім виникає питання про збірку всього ланцюга з вивчених частин. Для цього знову беруть молекули білка і піддають їх дії інших ферментів. Тоді вони розпадаються на інші частини, будова яких також піддається вивченню. Шляхом вивчення перекриттів окремих частин вдається з'ясувати порядок амінокислот у всьму ланцюгу. Зрозуміло, такий комбінаторний аналіз вимагає залучення потужної обчислювальної техніки. Поєднуючи комбінаторні розгляди з вивченням рентгенівських знімків, вченим вдалося розгадати будову багатьох білків, зокрема гемоглобіну, інсуліну та ін.

Торжеством комбінаторного підходу до явищ життя можна вважати розшифровку будови дезоксирибонуклеїнової кислоти (ДНК), зроблену в Кембриджі Криком і Уотсоном в 1953р.

Небагато знайдеться днів в історії науки, порівнянних за своїм значенням з 17 лютого 1869р. В цей день з хаосу хімічних елементів, кожен з яких мав свої властивості, виникла струнка таблиця - був відкритий періодичний закон. Це відкриття було зроблено Д.І. Менделєєвим, професором Петербурзького університету. Готуючи курс лекцій з загальної хімії, він задумався над порядком в якому слід було розповідати про елементи. Менделєєв спробував групувати один з одним не тільки схожі елементи, але і спробував розташувати в правильному порядку і самі групи. Він став підбирати, написавши на окремих-картках елементи з їх атомними вагами і корінними властивостями. Розкладаючи свій хімічний пасьянс, великий учений після напружених вигадок знайшов правильне розташування елементів. Кажуть, що остаточна форма таблиці прийшла до нього уві сні, коли, стомлений безперервним обмірковуванням її, він приліг відпочити. Дивно, що ця робота, що мала незліченні наслідки для розвитку хімії та фізики, була виконана Менделєєвим за один день - 17 лютого1869р.

У фізиці комбінаторика виявляється необхідною при вивченні властивостей кристалів, описі моделей феромагнетизму і т.п.

Як резюме хотілося б перерахувати деякі області застосування комбінаторики: у виробництві це розподіл видів робіт між робітниками; в агротехніці - розміщення посівів на кількох полях; в навчальних закладах це складання розкладів; в хімії - аналіз можливих зв'язків між хімічними елементами; в лінгвістиці це розгляд варіантів комбінацій букв; для азартних ігор це підрахунок частоти виграшів; в економіці - аналіз варіантів купівлі-продажу акцій; в криптографії це розробка методів шифрування; при доставці пошти це розгляд варіантів пересилання; в спортивних змаганнях - розрахунок кількості ігор між учасниками; в біології - розшифровка коду ДНК; у військовій справі -розташування підрозділів; в астрономії -аналіз розташування планет і сузір'їв.

Як бачите, комбінаторика необхідна практично у всіх сферах нашого життя. Область застосування комбінаторних методів настільки велика, що навіть перерахування всіх можливих місць використання комбинаторнї мови є нереальним

Питання для самоконтролю

Дати відповіді на тести

1 Формула для розрахунку числа перестановок з n елементів має вигляд:

а) ; б)

в) ; г) .

2. Формула для розрахунку числа комбінацій з n елементів по к має вигляд:

а) ; б)

в) ; г) .

3. Формула для розрахунку числа розміщень з n елементів по к має вигляд:

а) ; б)

в) ; г) .

4. Яке з наступних тверджень є тлумаченням розміщень з повтореннями?

а) число способів, якими можна розкласти к різних предметів по n коміркам;

б) число способів, якими можна розкласти n різних предметів по к комірках, так, щоб до і-ої комірки потрапило n_і предметів (і=1, 2, …, к);

в) число способів, якими можна розкласти к однакових предметів по n комірках;

г) число цілих невід’ємних розв’язків рівняння х₁+х₂+…+х_n = к.

5. Чому дорівнює значення :

а) 1; б) 0; в) n; г) n!.

6. Скількома способами можна розсадити 5 чоловік на 5 місцях?

а) 1; б) 0; в) 5; г) 5!.

7. Скількома способами можна розсадити 5 учнів на 12 місцях?

а) 95040; б) 9500; в) 5¹²; г) 12!.

8. Якщо з пункту А до пункту В ведуть n доріг, з пункту В до пункту С - l доріг, то з пункту А до пункту С (шлях через пункт В) ведуть

а) nl; б) n+l; в) n!; г) l!.

9. Скількома способами можна покласти 15 однакових предметів у 5 урн?

а) ; б) ; в) ; г)

10. Скількома способами можна покласти 15 різних предметів у 5 урн?

а) ; б) ; в) ; г)

КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ

Варіант 1

1 Скількома способами з 15 осіб можна утворити комісію, що складається з 3-х осіб?

2 Скільки різних слів можна утворити переставляючи букви у слові «самопідготовка»?

3 В аудиторській фірмі працюють 8 бухгалтерів і 4 юристи. З якою ймовірністю з них можна вибрати комісію для перевірки, в яку увійдуть 3 бухгалтери і один юрист?

4 Обчислити:

Варіант 2

1 Скількома способами із 20 робітників можна створити бригади по 4 чоловіки у кожній?

2 Скільки різних слів можна утворити переставляючи букви у слові «вікіпедія»?

3 У партії з 25 деталей 4 браковані. Наудачу виймають 6 деталей. Знайти ймовірність того, що серед них 23 браковані.

4 Обчислити:

Варіант 3

1 Є 5 студентів ІІІ курсу і 5 студентів ІІІ курсу і 30 студентів І курсу. Скількома способами можна виділити делегацію на конференцію, якщо вона повинна складатись із двох студентів ІІІ курсу і трьох студентів І курсу?

2 Скільки різних слів можна утворити переставляючи букви у слові «соковижималка»?

3 В коробці 40 лотерейних білетів з яких 37 без виграшу. Вийняли 4 білети. Знайти ймовірність того, що 2 з них виграшні.

4 Обчислити:

Варіант 4

1 У першості України грають 23 команди. Скількома способами можуть бути присуджені І, ІІ і ІІІ місця?

2 Скільки різних слів можна утворити переставляючи букви у слові «перевантаження»?

3 В урні знаходиться 15 білих і 8 чорних куль. Знайти ймовірність того, що серед витягнутих навмання шести куль будуть 4 білі і 2 чорні.

4 У розкладі знайти цілі члени

Варіант 5

1 Скількома способами можна розставити на полиці 10 книжок серед яких є трьохтомник так, щоб книги трьохтомника стояли поруч ?

2 Скільки різних слів можна утворити переставляючи букви у слові «переекзаменовка»?

3 Серед 30 деталей 6 бракованих. Витягли 5 деталі. Знайти ймовірність того, що дві з них браковані.

4 Обчислити:

Варіант 6

1 Скількома способами можна вибрати із колоди у 32 карти чотири карти так, щоб серед них було два тузи?

2 Скільки різних слів можна утворити переставляючи букви у слові «моніторінг»?

3 В урні знаходяться 15 синіх куль і 6 червоних. Взяли 4 кулі. Знайти ймовірність того, що 3 з них сині.

4 У розкладі знайти всі цілі доданки.

Самостійна робота № 2 (14год)

Тема: Випадкові події та ймовірності

Мета: розглянути основні поняття теорії ймовірностей (події, операції над подіями), розвивати вміння застосовувати отримані теоретичні знання до розв’язків задач на знаходження ймовірностей за класичним означенням, геометричним означенням, виховувати вміння самостійно працювати з навчальною літературою

План

1 Історія розвитку поняття «теорія ймовірностей»

2 Простір елементарних подій. Операції над випадковими подіями

3 Класичне означення ймовірності

4 Геометричні ймовірності

5Умовні ймовірності та незалежні події

6 Формула повної ймовірності. Формула Байєса

Перелік посилань:

1. Валєєв К. Г., Джалладова І. А. Збірник задач з теорії ймовірностей та математичної статистики: Навч. посіб. — К.: КНЕУ, 2005. — 284 с. [3-21]

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высш. школа, 2004. – 479 с. [17-52]

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высш. школа, 2005. – 404 с. [7-45]

4. Іванюта І.Д. та ін. Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики. – К.: Слово, 2003. – 272 с. [10-39]

5. Шефтель З. Г. Теорія ймовірностей: Підручник для пед. навч. закладів. - 2-е вид.. - К.: Вища шк., 1994. - 193 с.[20-52]

Теоретичні відомості

Теорія ймовірностей і математична статистика - математична наука, що вивчає закономірності у випадкових явищах. Випадковим називається таке явище, яке при багаторазовому повторенні досліду протікає щораз по-іншому. Виникає питання, чи у кожному випадковому явищі міститься закономірність? Якщо випадкове явище має так звану статистичну однорідність, то воно містить закономірність і називається стохастичним.

У процесі своєї діяльності людина часто стикається з випадковістю й інтуїтивно припускає наявність у цій випадковості закономірності. Однак іноді покладатися на інтуїцію небажано, все залежить від складності й важливості розв'язуваної проблеми. Тоді виникає необхідність визначити ступінь можливості яких-небудь подій або наслідків шляхом математичних розрахунків. Тут і доводиться звертатися до методів теорії ймовірностей і математичної статистики.

Зауважимо, що економічні процеси й події є у певній мірі випадковими. Причому, це пов'язано не тільки з «чистою» випадковістю й довільним поводженням людини як елемента економічної системи, а й зі складністю процесів, які піддані впливу такої множини факторів, що не завжди можна врахувати їхній вплив цілком. У зв'язку із цим застосування ймовірнісно-статистичного апарата в економічних

розрахунках виявляється дуже актуальним і ефективним. Зокрема, при плануванні й прогнозуванні або при оцінці ризику при вкладенні інвестицій або реалізації бізнес-плану.

Інформація про випадкове явище може бути отримана в результаті його спостереження, тобто шляхом проведення дослідів. Для виявлення закономірності провадять обробку дослідних даних. Цю задачу вирішує математична статистика. Теоретичною базою математичної статистики є класична теорія ймовірностей.

Початок розвитку теорії ймовірностей і математичної статистики пов'язаний з європейськими математиками XVII століття. Завдяки роботам швейцарського математика Якоба Бернуллі теорія ймовірностей набула найважливішого значення в практичній діяльності. Він побудував математичну модель для опису серії незалежних випробувань, довів теорему, що є особливим випадком закону великих чисел (теорему Бернуллі), що має основне значення в теорії ймовірностей і її застосування до математичної статистики.

Французький математик П’єр Симон Лаплас розвив і систематизував результати, отримані Бернуллі. Він довів важливу граничну теорему (теорему Лапласа-Муавра), розвив теорію помилок, обґрунтував, хоча й нестрого, метод найменших квадратів. Теорія ймовірностей у значній мірі сформувалася саме в його роботах. Він запровадив теореми додавання й множення ймовірностей, поняття математичного сподівання й виробляючих функцій. За його життя робота «Аналітична теорія ймовірностей» видавалася тричі. Учень Лапласа, французький математик Симеон Дені Пуассон ґрунтовно розвив ідеї Лапласа. Він довів теорему, що стосувалася закону великих чисел (закон Пуассона), вперше скориставшись терміном «закон великих чисел».

В XIX столітті теорія ймовірностей сформувалася як злагоджена математична дисципліна в зв'язку з видатними роботами російського математика Пафнутія Львовича Чебишева і його учнів Ляпунова О.М. і Маркова А.А. Чебишев П.Л. довів загальні форми закону великих чисел.

Ляпунов Олександр Михайлович працював у Харківському університеті. Він зробив важливий внесок у теорію ймовірностей, давши простий і строгий доказ центральної граничної теореми в більш загальній формі, ніж та, в якій вона розглядалася Чебишевим і Марковим. Для доказу він розробив метод характеристичних функцій, що широко застосовується в сучасній теорії ймовірностей.

У ХХ столітті значний внесок у розвиток сучасної теорії ймовірностей внесли Колмогоров Андрій Миколайович разом з А.Я.Хінчиним. Колмогорову А.М. належать дослідження зі статистичних методів контролю масової продукції й теорії передачі інформації каналами зв'язку.

Смирнов Микола Васильович отримав фундаментальні результати з розподілу елементів варіаційного ряду й інших питань теорії ймовірностей і математичної статистики. У теорії граничних теорем відомий критерій Смирнова.

Гнеденко Борис Володимирович отримав важливі результати з теорії масового обслуговування й теорії надійності.

ТВ і математична статистика є основою для побудови кількісних моделей керування економічними системами. Прикладом таких моделей служать моделі планування й керування запасами, теорії ігор, теорії

масового обслуговування. Ймовірносно-статистичні методи є базовими для теорії прийняття рішень - складової частини сучасного менеджменту. Статистичні показники аналізують при оцінці ризику в інвестиційній діяльності, в діяльності страхових компаній, а також у багатьох сферах економіки й керування.

Широка сфера застосування теорії ймовірностей і математичної статистики визначає важливе місце, що займає даний курс у підготовці економістів вищої кваліфікації, а також менеджерів, маркетологів, бізнесменів, бухгалтерів-аудиторів, соціологів. Ця дисципліна закладає теоретичну основу для наступного вивчення курсів "Математичне програмування", "Економетрія", «Статистика», «Економічний аналіз», "Економічні ризики", "Теорія прийняття рішень".

Теорія ймовірностей - математична наука, що вивчає закономірності у випадкових явищах. Випадковим називається таке явище, яке при багаторазовому повторенні досліду протікає щораз по-іншому. Наприклад, вимірювання - якщо ми бажаємо отримати точний результат, стрілянина по мішені являє класичний приклад випадкового явища, погодні умови і т. інше.

На відміну від випадкових явищ існують детерміновані явища. Це, як правило, закони природи, які вивчаються в курсі фізики, наприклад:

- прискорення вільного падіння дорівнює 9,8 м/с²;

- сила, прикладена до матеріальної точки, надає їй прискорення (за формулою F=ma);

- струм, що протікає через опір R під дією напруги U, пропорційний напрузі I=U/R.

Таким чином, якщо при відтворенні певних умов незмінно відбувається певна подія (та сама, тобто результат незмінно повторюється), то має місце детерміноване явище. Прогноз результату такого досліду можна здійснити, не проводячи експерименту.

У випадку, коли на результат досліду впливає ряд факторів, урахувати які неможливо або дуже складно (крім того, ці фактори можуть змінюватися випадковим образом), скласти математичну модель, що прогнозує розвиток такого явища в детерміністському поданні неможливо. У такому випадку намагаються знайти у випадкових явищах ті або інші закономірності. Такі закономірності виявляються при масовому повторенні дослідів. Якщо їх удається знайти, то випадкове явище є статистично однорідним. Якщо закономірності в явищі відсутні, тобто виявити їх не удається, то таке явище є невизначеним і вимагає додаткового дослідження.

Одним з основних у теорії ймовірностей є поняття випадкової події.

Випадкова подія - це всякий факт, що в результаті досліду може відбутися або не відбутися.

Випадкові події позначають великими буквами латинського алфавіту: A={влучення в мішень}, B={прибуття трамвая на зупинку}, C={поломка технічного устрою}, D={коротке замикання в мережі}.

Дослідом називається відтворена сукупність умов, у яких може відбутися випадкова подія.

Імовірність випадкової події – це числова міра ступеню об'єктивної можливості появи даної події в результаті досліду. Імовірність події А позначається Р(А).

За одиницю виміру ймовірності приймають імовірність достовірної події U, тобто такої, яка в результаті досліду обов'язково відбудеться:

Р(U) = 1.

Протилежна достовірному подія називається неможливою і позначається U=V Імовірність неможливої події:

Р(U) = 0.

Відповідно ймовірність будь-якої випадкової події А укладена між нулем і одиницею:

0  Р(А)  1.