1.5. Простейшее уравнение баланса нейтронов. Коэффициент размножения бесконечной среды. Концентрация ядер, макроскопическое сечение. Скорость реакции, поток нейтронов.

Для составления уравнения баланса нейтронов рассмотрим равенство (1.3), которое использовалось для определения полного микроскопического сечения σ_t в эксперименте на рис. 1.2. Отличие будет состоять в том, что сечение σ_t считается известным и складывается по формуле (1.5) из парциальных сечений рассеяния (σ_s), захвата (σ_с) и деления (σ_f) (которые также считаются известными).

Будем считать, что мишень на рис.1.2 объемом ΔV заполнена делящимся веществом (например, U-235), а пучок нейтронов движется от источника, который расположен далеко от мишени (например, космическое излучение Солнца).

Ясно, что в этих условиях мишень представляет собой однородную размножающую среду объемом ΔV или гомогенный реактор, в который попадают нейтроны космического излучения (пучок), а ситуация соответствует качественному рассмотрению начала п. 1.2.

В соответствии с этим рассмотрением нейтроны, попавшие в объем ΔV, могут «рассеиваться», «захватываться», «делиться» и «утекать» из объема ΔV. При этом число нейтронов N в объеме ΔV будет изменяться со временем t, т.е. N=N(t).

Выясним теперь за счет чего происходит изменение числа нейтронов N(t')-N(t) в объеме ΔV за промежуток времени Δt=t'-t. Изменение числа нейтронов N(t')-N(t) обусловлено их захватом, делением (рассеяние не изменяет число нейтронов!) в объеме ΔV и утечкой через поверхность объема ΔV.

Если пренебречь утечкой (например, когда в соответствии с п. 1.2 ΔV очень большой и среда «бесконечная»!), то искомое уравнение баланса нейтронов будет представлять собой равенство:

Для подсчета левой части равенства используется плотность нейтронов n(t) (число нейтронов в см³) в соотношении (1.3):

N(t')-N(t)=[n(t')-n(t)] ΔV

Для подсчета числа поглощенных нейтронов ΔN_a за время Δt=t'-t используется соотношение (1.3), определение σ_а и концентрации ядер ρ (число ядер в см³):

ΔN_a= σ_avn(t)ρΔVΔt

Для подсчета числа сгенерированных нейтронов используется соотношение (1.3), определение σ_f и v_t.

ΔN_a=v_fpσ_fvn(t)ρΔVΔt

В последнем равенстве, будем предполагать, что все нейтронные деления являются мгновенными v_fp=v_f или β=0 в соотношении (1.6).

Если подставить эти выражения в уравнение баланса нейтронов, то получим (получите!) закон, которому должна удовлетворять переменная плотность нейтронов n(t):

Левая часть этого равенства представляет собой изменение числа нейтронов в 1 см³ за 1 с, а правая - убыль и прибыль числа нейтронов в 1 см³ за 1 с за счет поглощения и деления. Видно, что в случае преобладания поглощения над делением плотность нейтронов n(t) со временем уменьшается, в противном случае - увеличивается. В случае когда захват и деление уравновешивают друг друга плотность нейтронов n(t) остается постоянной. Эти результаты полностью соответствуют качественному рассмотрению п. 1.2 относительно лавинообразного развития цепной реакции деления, ее затухания и стационарному протеканию в отсутствии утечки.

Однако ценность полученного следствия из уравнения баланса нейтронов состоит в возможности количественного определения условий возникновения и протекания цепной реакции деления на основе данных о ядерных реакциях (σ_с, σ_f, v_f). Из вида правой части полученного равенства также следует, что характер протекания цепного процесса деления зависит не только от характеристик ядерных реакций (микроскопических сечений, σ_с, σ_f и v_f), но и от свойств среды (концентрации ядер ρ).

Для характеристики свойств среды по отношению к нейтронам удобно ввести понятие макроскопического сечения ядерных реакций Σ, которое представляет собой произведение σ и ρ:

Σ= σ ρ (1.7)

и имеет размерность [см² ·1/см^э]=[1/см].

Для характеристики свойств нейтронов удобно использовать не плотность нейтронов n, а результат умножения ее на скорость v, который называется потоком нейтронов Ф:

Ф=vn (1.8)

и имеет размерность [см/с·н/см³]=[н/см²·с]

Введенные произведения (1.7) и (1.8) попарно фигурируют в правой части полученного следствия из уравнения баланса нейтронов и характеризуют свойства среды и нейтронов по отдельности. С учетом этих определений полученное следствие можно записать в виде закона изменения со временем потока нейтронов Ф(t)=n(t):

Здесь в соответствии с (1.7) Σ_a=σ_aρ Σ_f=σ_fρ характеризуют свойства среды по отношению к поглощению и делению нейтронов.

Удобство такой записи состоит в возможности теоретического определения закона изменения потока нейтронов Ф(t) (или плотности нейтронов n(t)) в зависимости от времени t:

(1.9)

В этом законе для краткости записи введены комбинации k и T_а макроскопических сечений:

(1.10)

(1.11)

Зависимость (1.9) от времени t позволяет вычислить значение потока нейтронов Ф(t) в любой момент времени t>0, если известен начальный поток нейтронов Ф(0) в момент времени t=0, а также числа k (1.10) и Т_а (1.11). Если известна скорость нейтронов v, то из определения (1.8) потока нейтронов Ф(t)=vn(t) следует, что вычисление плотности нейтронов n(t) в зависимости от времени t должно проводиться также по формуле (1.9) (только необходимо знать начальную плотность нейтронов n(0)).

Из формулы (1.9) следует, что при начальном потоке нейтронов Ф(0)>0 (или плотности нейтронов n(0)>0) характер изменения потока (плотности) нейтронов будет различен в зависимости от значения числа k (1 .10)³.

Если k>1, то поток (плотность) нейтронов увеличивается по показательному закону (рис. 1.7 а) и цепная реакция деления развивается (лавинообразно).

Если k<1, то поток (плотность) нейтронов уменьшается по показательному закону (рис. 1 .7 б) и цепная реакция деления затухает.

И, наконец, если k=1, то поток (плотность) нейтронов не изменяется с течением времени t (рис. 1.7 в) и цепная реакция деления стационарна.

Р ис. 1.7. Иллюстрация закона изменения потока нейтронов в идеализированном реакторе в различных случаях: к>1 (а), к>1 (б), к=1 (в)

Полученный результат полностью соответствует качественному рассмотрению п.1.2 относительно условий возникновения и развития цепной реакции деления в отсутствие утечки (размножающая среда «бесконечна»!). Однако теперь можно придать смысл понятию «лавинообразное» возрастание («ядерный взрыв») интенсивности цепной реакции и дать количественную оценку этому процессу.

Становится понятным смысл числа k, который представляет собой комбинацию (1.10) макроскопических сечений поглощения (Σ_а), деления (Σ_f) и среднего числа нейтронов деления (v_f). Это число имеет смысл коэффициента размножения, о котором говорилось в п. 1.2. С помощью этого числа можно дать точную количественную оценку условий, при которых возникает стационарная («самоподдерживающаяся») цепная реакция деления. Из выражения (1.10) следует, что «бесконечная» среда должна быть такова, чтобы выполнялось равенство v_fΣ_f=Σ_a (k=1). При этом поток (плотность) нейтронов Ф, который не изменяется со временем Ф(t)=Ф(0)=Ф (рис. 1.7), может быть совершенно произвольным. Это свойство стационарной цепной реакции является чрезвычайно важным и резко отличает «ядерный нагреватель» от обычного электрического. Мощность обычного электрического нагревателя (кипятильника) ограничена силой тока (Q=I²R)_, а «мощность» ядерного нагревателя, который находится в критическом состоянии (k=1) может быть любой (поток Ф произволен). Это свойство «ядерного нагревателя» используется в процедуре управления ядерным реактором и качественно было описано в п. 1.2. К этому свойству мы будем неоднократно возвращаться.

Здесь необходимо только отметить, что, несмотря на ограниченный характер рассматриваемого примера (среда из U-235 в виде «бесконечной мишени»), формула (1.10) дает возможность (хотя бы примерно) представить от каких свойств среды реактора зависит возможность осуществления его подкритического (k>l), надкритического (k<l) и критического (k=l) состояний. Последнее очень важно, поскольку возможность осуществления именно критического состояния достаточно длительное время и делает устройство, содержащее ядерное топливо, собственно реактором, а не «бомбой», о чем говорилось в п.1.1. Поэтому задача определения критических состояний реактора является центральной (основной) в теории ядерных реакторов и она сводится к определению коэффициента размножения k реактора заданного состава и объема, а также к определению распределения потока (плотности) нейтронов Ф(х, у, z). Последнее обусловлено наличием «утечки» в реальном реакторе конечного объема через его поверхность, которой мы пренебрегли в уравнении баланса нейтронов. Из качественного рассмотрения п. 1.2 следует, что утечка нейтронов через поверхность объема среды всегда существует. Но в этом случае нельзя считать, что поток (плотность) нейтронов в каждой точке (х. у, z) среды будет одинаков. Число нейтронов вблизи границы (x₁, y₁, z₁) и центра (х₂, у₂, z₂) объема V различно, поскольку точки (x₁,y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) неравноценны. Это можно понять из рассмотрения п. 1.2, о роли отражателя. Поскольку точки пространства определяются тремя числами: х, у, z (декартовы прямоугольные проекции точки), то это находит свое отражение в обозначении потока (плотности) нейтронов Ф(х, у, z), показывающим каков поток (плотность) нейтронов в отдельных местах (точках) среды реактора конечного размера (объема V). Поэтому зависимость потока нейтронов Ф от точек среды (х, у, z) называется в физике реакторов распределением потока (плотности) нейтронов и обозначается Ф(х, у, z). Понятно, что такая зависимость существенна при наличии утечки. В рассматриваемом здесь идеализированном случае отсутствия утечки (среда «бесконечна») распределение потока (плотности) нейтронов Ф(х, у, z) считается равномерным Ф(х, у, z)=Ф и задача определения критического состояния такого идеализированного реактора сводится к определению коэффициента размножения k по формуле (1.10). Вторую часть основной задачи физики реакторов можно не выполнять, поскольку распределение потока (плотности) нейтронов сводится к заданию произвольного числа Ф в случае критического состояния (k=1) такого реактора.

Но абсолютно таким же способом поступают при конструировании любого реактора конечного объема. Когда состав материалов, их размещение и размеры реактора неизвестны, то основная задача физики реакторов решается в два этапа:

• вначале в процессе вариаций (изменений) состава, размещения и размеров реактора вычисляют значение коэффициента размножения k и добиваются выполнения условия критичности k=1;

• затем в критическом реакторе (k=1) вычисляют распределение потока (плотности) нейтронов Ф(х, у, z), которое определяется с точностью до постоянного множителя.

Однако этой большой работе всегда предшествует исследование свойств «бесконечной» размножающей среды, из которой будет набираться активная зона будущего реактора. Это исследование проводится по той же схеме, но второй этап отсутствует (распределение потока нейтронов однородное Ф(х, у, z)=Ф, где Ф произвольный постоянный поток). На первом этапе также варьируется состав и размещение материалов «бесконечной» активной зоны будущего реактора, но добиваются выполнения не условия критичности (k=1), a условия (k>1). Варианты «бесконечной» активной зоны, когда k 1, отбрасываются. Причины этого объясняются ниже. Здесь только отметим, что получаемый при этом коэффициент размножения k «бесконечной» размножающей среды (активная зона будущего реактора) в физике реакторов обозначается k_ .

С учетом приведенных замечаний ясно, что формула (1.10) дает возможность количественной оценки k_ в рассматриваемом идеализированном «бесконечном» реакторе. Характерно то, что слово «оценка» не является лишним, поскольку формула (1.10) учитывает не все процессы даже в «бесконечной» активной зоне (наличие кроме U-235 других ядер, их содержание, распределение потока нейтронов по энергии).

Оценочный характер имеет также и формула (1.11) для определения числа Т_а. Видно, что для его выполнения необходимо знать не только свойства среды (а), но и нейтронов (v). Число Т_а имеет размерность [с/смсм]=[с] и имеет смысл среднего времени поглощения нейтрона.

Если значение коэффициента размножения k (1.10) рассматриваемого идеализированного «бесконечного» реактора (k=k_) определяют характер цепного процесса деления («разгон» при k> 1, «затухание» при k< 1, стационарность при k=l), то среднее время поглощения Т_а совместно с k определяет скорость изменения потока (плотности) нейтронов при «разгоне» и «затухании». Например, при заданном k>l скорость «разгона» (рис. 1.7 а) будет меньше для больших значений среднего времени поглощения нейтрона Т_а, чем для меньших. Поэтому для предотвращения опасных «разгонов» следует увеличивать среднее время поглощения нейтрона Т_а. Из формулы (1.11) видно, что для быстрых нейтронов (v=v₆) среднее время поглощения нейтрона меньше, чем для тепловых (v=v_т). Поэтому реакторы, в которых в основном присутствуют быстрые нейтроны («быстрые реакторы») опаснее «тепловых реакторов». Отсюда следует, что для характеристики скорости разгона реакторов важное значение приобретает распределение нейтронов не только по объему реактора Ф(х, у, z), но и по энергии Е, т.е. Ф= Ф(х, у, z, E). Такое распределение в физике реакторов называется пространственно-энергетическим спектром. Для «бесконечного» реактора зависимость от (х, у, z) пропадает (утечки нет) и можно говорить только о распределении нейтронов только по энергии Ф(Е) или энергетическом спектре нейтронов в реакторе.

Кроме эвристических суждений о пространственно-энергетическом спектре нейтронов Ф(х, у, z, E) из формулы (1.11) видно, что величина среднего времени поглощения нейтронов обратно пропорциональна _а. Поэтому в физике реакторов безотносительно к типу ядерной реакции (захват, рассеяние, деление) вводится еще одна характеристика свойств среды :

(1.12)

имеющая размерность =[см]. Эта величина называется средней длиной свободного пробега и представляет собой расстояние (в см), которое пролетит нейтрон в среде прежде, чем он вступит в заданную реакцию с ядром ( захват, - рассеяние, - деление). Эта величина вычисляется с помощью макроскопических сечений ядерных реакций (1.7) , которые имеют такую же индексацию как и соответствующие микроскопические сечения . Отметим еще два момента связанных с законом (1.9) изменения со временем t потока нейтронов Ф.

Во-первых, в случае некритического реактора (kl) происходит увеличение (k>l) или уменьшение (k<l) потока нейтронов. Эти изменения при эксплуатации реактора принято характеризовать периодом Т разгона (затухания) реактора. Период (правильнее сказать «асимтотический период» или «стабильный период») реактора представляет собой время (Т на рис. 1.7), в течение которого поток (плотность) нейтронов увеличивается (уменьшается) в е2,72 раз.

Во-вторых, в случае надкритического реактора (k>l) увеличить поток нейтронов возможно, если его начальное значение Ф(0)>0 (нейтроны в реакторе есть!). При отсутствии начального потока в реакторе (Ф(0)=0) увеличить поток нельзя. Нужен внешний источник нейтронов для создания «ненулевого» начального значения потока нейтронов! Это формализует предыдущее качественное рассмотрение о роли внешнего источника нейтронов в п.1.2.

И, наконец, заметим, что все введенные понятия были осуществлены на основе обсуждения закона (1.9), который является следствием уравнения баланса нейтронов в рассматриваемом идеализированном реакторе. Для составления этого уравнения необходимо было уметь подсчитывать «число поглощенных» (N_a) и «число сгенерированных» (N_f )нейтронов (см. начало п.1.5). Такой подсчет осуществлялся на основе соотношения (1.3) (см. начало п. 1.5). В это соотношение входит произведение двух характеристик двух различных объектов: нейтронов (vn) и среды (). С учетом определений потока нейтронов Ф (1.8) и макроскопического сечения  (1.7), число актов N той или иной реакции в объеме V за время t можно записать в виде :

=ФV (1.13)

Отсюда следует, что произведение Ф представляет собой число реакций того или иного типа в 1 ем³ за 1 с. Это произведение в физике реакторов называется скоростью той или иной реакции в единице объема среды. Например, произведение _f|Ф представляет собой число делений в 1 см³ среды за 1 с.

С помощью таких произведений (скоростей реакций) легко подсчитываются число актов той или иной реакции в объеме среды и составляются уравнения баланса в более сложных (чем рассмотренный в этом разделе)случаях.

Напомним, что основными допущениями этого раздела являлись:

• среда («мишень») «бесконечная»;

• среда («мишень») состоит из ядер одного сорта (U-235), распределенных однородно по объему мишени (p=const);

• скорость всех нейтронов в среде одинакова (нейтроны моноэнергетичны).

Несмотря на эти допущения, полученные результаты имеют место и в полиэнергетическом случае (непрерывная зависимость микроскопических сечений и плотности нейтронов от энергии) в неоднородных ограниченных средах при других, конечно определениях k и Т_а.

Рассмотрим вкратце, какие новые понятия возникают в связи со снятием этих ограничений.