Лабораторная работа №5

Табличная обработка данных. Среднеквадратичное приближение.

Краткая теоретическая справка

Неинтерполяционное приближение табличных данных. Основные понятия.

Иногда приближение табличных данных методом интерполирования неудобно или нецелесообразно. Например, это имеет место, когда данных в таблице очень много и интерполяция приводит либо к интерполяционному полиному очень высокой степени, либо к сплайну с очень большим числом кусков. Если же известно, что данные в таблице не точны (например, если они получены экспериментальным путем с неизбеж­ными ошибками измерений), то интерполирование их, как правило, нецелесообразно. В самом деле, совпадение значений интерполяционной функции в узлах с табличными данными означает, что она точно повторяет ошибки, допущенные при измерениях. В таких случаях от интерполирования лучше отказаться и приближать данные на основе иного принципа.

Пример. Пусть в результате измерения некоторой физической зависимости были получены следующие экспериментальные данные:

х	У
0,2	0,73
0,3	0,82
0,4	0,94
0,5	1,03
0,6	1,12

причем теоретически эта зависимость должна быть линейной. Если по данным 5 точ­кам вычислить интерполяционный полином Лагранжа (четвертой степени), то он не отражал бы свойств исходной зависимости, а для экстраполяции был бы совершенно не пригоден. С другой стороны, выбор из таблицы каких-либо двух точек и проведе­ние через них прямой линии (линейная интерполяция) был бы не лучшим решением, поскольку остальные три точки таблицы никак не были бы использованы, и содержаща­яся в них информация оказалась бы утраченной. В данном случае возникает задача осуществить подгонку табличных данных под некоторую линейную зависимость и сде­лать это по возможности наилучшим способом.

1. Пусть для некоторой функции у = f(х), заданной с помощью таблицы из n точек, подобрана приближающая ее функция F(x). Разности вида F(x_k) - f(х_k) = _k назы­ваются невязками.

2. Чтобы задача нахождения приближающей функции F(x) была корректной, необходи­мо указать класс функций, в котором ищется F. Чаще всего в качестве такого класса берут тригонометрические или алгебраические полиномы степени не выше заданного числа.

3. Кроме того, должен быть указан критерий близости F(x) к табличным данным. Наиболее распространены следующие два критерия, по которым отыскивается приб­лижающая функция:

1) | _k | <  для некоторого заданного  > 0 и 1  k  n (равномерное при­ближение);

2) сумма квадратов невязок для F(x)

(1)

минимальна среди всех функций заданного класса (среднеквадратичное приближении).

4. Равномерное приближение, как правило, является некорректной задачей в том смысле, что в заданном классе может существовать бесконечно много функций, от­вечающих требованию заданной малости невязок, а может и не существовать сов­сем. Кроме того, равномерное приближение является сравнительно сложной матема­тической задачей. Точных методов нахождения равномерно приближающих функций не найдено, обычно их отыскивают итерационными методами.