5. На кривій знайти точки, в яких дотична перпендикулярна до прямої .

6. Перевірити, що між коренями функції знаходиться корінь її похідної. Пояснити графічно.

Варіант 12

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

4. Знайти

а) в)

б)

5. Знайти кутовий коефіцієнт дотичної до кривої в точці М(2,-1).

6. Перевірити, чи можна застосувати теорему Лагранжа до функції на відрізку .

Варіант 13

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

4. Знайти

а) в)

б)

5. Знайти рівняння дотичної та нормалі до кривої в точці М(-2, 3).

6. Для функцій перевірити виконання умов теореми Коші на відрізку [1, 2] і знайти відповідне значення.

Варіант 14

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

4. Знайти

а) в)

б)

5. В точках перетину прямої та параболи проведені нормалі до параболи. Написати рівняння цих нормалей.

6. Функція приймає рівні значення на кінцях відрізка [-а, а]. Переконатися в тому, що похідна від цієї функції в інтервалі (-а, а) не дорівнює нулю, і пояснити чому не виконується теорема Ролля.

Варіант 15

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

4. Знайти

а) в)

б)

5. Показати, що дотичні до параболи в точках її перетину з осями координат паралельні між собою.

6. Перевірити справедливість теореми Ролля для функції на відрізку [1, 2]. Якщо так, знайти відповідне значення .

Варіант 16

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання),знайти похідну функції

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

4. Знайти

а) в)

б)

5. Скласти рівняння такої нормалі до параболи , яка перпендикулярна до прямої, що з'єднує початок координат з вершиною параболи.

6. Перевірити справедливість теореми Ролля для функції на відрізку [1, 2]. Якщо так, знайти відповідне значення .

Варіант 17

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання),знайти похідну функції

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

4. Знайти

а) в)

б)

5. Скласти рівняння нормалі до графіка функції в точці перетину з бісектрисою першого координатного кута.

6. Побудувати графік функції на відрізку [0, 3] . Чому тут не можна провести дотичну, паралельну хорді? Яку з умов теореми Лагранжа тут не виконано?

Варіант 18

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання),знайти похідну функції

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

4. Знайти

а) в)

б)

5. В яких точках кривої дотична параллельна прямій ?

6. Функція дорівнює нулю на кінцях відрізка [-1, 1]. Переконатися в тому, що похідна від цієї функції в інтервалі (-1, 1 ) не дорівнює нулю. Пояснити, чому тут не може бути застосована теорема Ролля.

Варіант 19

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

4. Знайти

а) в)

б)

5. Знайти кут між дотичними до еліпсу , в точках, де .

6. Перевірити, що між корнями функції знаходиться корінь її похідної.

Варіант 20

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

4. Знайти

а) в)

б)

5. На колі знайти точки, де дотична паралельна прямій .

6. Перевірити справедливість теореми Ролля для функції на відрізку [-1,1].

Варіант 21

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

4. Знайти

а) в)

б)

5. Знайти рівняння дотичної та нормалі до астроїда в точці, де .

6. Побудувати кривої на відрізку . Чому на дузі немає дотичної, що паралельна хорді АВ? Яка з умов теореми Лагранжа тут не виконується?

Варіант 22

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

4. Знайти

а) в)

б)

5. На кривій знайти такі точки, де дотична паралельна осі ОХ.

6. Перевірити справедливість теореми Ролля для функції на відрізку[0, ].

Варіант 23

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

4. Знайти

а) в)

б)

5. Знайти рівняння тієї дотичної до параболи , котра утворює кут в 45° с віссю ОХ.

6. Перевірити справедливість теореми Лагранжа для функції на відрізку [0, а]; n >0, а> 0.

Варіант 24

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

4. Знайти

а) в)

б)

5. В якій точці дотична до параболи утворює з прямою кут в 45°?

6. Побудувати дугу кривої на відрізку . Чому на дузі немає дотичної, паралельної хорді АВ? Яка з умов теореми Ролля тут не виконується?

Варіант 25

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

4. Знайти

а) в)

б)

5. При якому значенні незалежної змінної дотичні до кривих і паралельні?

6. Показати, що похідна функції має дійсний корінь в інтервалі (-1, 1).

Варіант 26

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

3. Знайти

а) в)

б)

3. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в точці, відповідної до значень параметра .

4. Побудувати графік функції . Узяв на ньому точки О(0; 0) і В(2; 1) показати, що між О і В на графіку функції немає точки, дотична в якій була б паралельна ОВ. Які умови теореми Лагранжа для цієї функції на відрізку [0; 2] виконані і які ні?

Варіант 27

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції .

2. Знайти похідну складної функції

8

3. Знайти

4. Знайти

а) в)

б)

5. Написати рівняння дотичних до гіперболи в точках і та знайти кут між дотичними.

6. В якій точці дотична до кривої паралельна хорді, що стягує точки А(-2; 0) і В(1; 3)? Пояснити графічно.

Варіант 28

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції .

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

4. Знайти

а) в)

б)

5. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в точці, відповідно до значень параметра .

6. Показати, що на відрізку [-1; 2] теорема Лагранжа не виконується для функції .

Варіант 29

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції .

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

Знайти

а) в)

б)

4. В какій точці параболи потрібно провести дотичну, щоб вона була перпендикулярна до бісектриси першого координатного кута.

5. Перевірити справедливість теореми Ролля для функції на відрізку .

Варіант 30

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції .

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

Знайти

4. Знайти

а) в)

б)

5. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в точці, відповідно до значень параметра t = 2.

6. В якій точці дотична до кривої паралельна хорді, що стягує точки М₁(1; 0) і М₂(e; 1)?

3. Застосування похідної

Завдання 3.3

1. Дослідження функції

2. Знайти найбільше і найменше значення функції

3. Розв’язати задачу

Зразок виконання

І. Дослідження функції

1. Знайти область визначення функції.

Означення. Областю визначення функції називається сукупність всіх значень незалежної змінної , для яких функція визначена.

2. Визначити є функція парною, непарною або загального вигляду.

Означення. Функція , визначена на множині , називається парною, якщо виконується умова і , називається непарною, якщо виконується умова і .

Графік парної функції симетричний щодо осі , графік непарної - відносно початку координат.

Якщо функція є парною або непарною, то дослідження можна провести тільки для і при побудові графіка скористатися його симетричністю.

3. Визначити чи є функція періодичною.

Означення. Функція , визначена на множині , називається періодичною на цій множині, якщо існує таке число , що для і . При цьому число називається періодом функції.

Найменше додатне число , що задовольняє рівность , є основним періодом функції.

Якщо функція періодична, то дослідження проводиться на будь-якому інтервалі, довжина якого збігається з основним періодом функції.

4. Визначити координати точок перетину графіка з осями координат, визначити інтервали знакосталості функції.

5. Знайти похилі (в т.ч. горизонтальні) асимптоти і вертикальні асимптоти графіка функції.

Пряма є вертикальною асимптотою графіка функції , якщо або , де - точка розриву або гранична точка області визначення функцій.

Пряма є горизонтальною асимптотою графіка функції , якщо існує границя .

Пряма є похилою асимптотою графіка функції , якщо існує границя і .

При знаходженні цих границь зручно користуватися правилом Лопіталя.

6. Знайти точки екстремуму та інтервали зростання (спадання) функції.

Означення. Функція називається зростаючою (спадаючої), якщо більшому значенню аргументу відповідає більше (менше) значення функції.

Зростання і спадання функції характеризується знаком її похідної .

Достатня умова зростання (спадання) функції. Якщо функція диференційована на інтервалі і для , то ця функція зростає (спадає) на

Визначення. Точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції, якщо існує така -окіл точки , що для всіх з цього околу виконується нерівність ,( ).

Максимум і мінімум функції називається екстремумом функції. Функція може мати екстремум тільки в тих точках, які належать області визначення функції і в яких перша похідна дорівнює нулю або не існує. Такі точки називаються критичними.

Достатні умови екстремума

I Якщо неперервна функція диференційована в деякому -околі точки і при переході через неї (зліва направо) похідна змінює знак з плюса на мінус, то є точка максимуму, з мінуса на плюс, то - точка мінімума.

II Якщо в точці перша похідна функції дорівнює нуль , а друга похідна існує і відмінна від нуля , то в точці функція має екстремум. Якщо - максимум, чкщо - мінімум.

7. Знайти точки перегину і інтервали опуклості (ввігнутості) графіка функції.

Означення. Графік диференційованої функції називається опуклим (ввігнутим) на інтервалі , якщо він розташований вище (нижче) будь-якій її дотичної на цьому інтервалі.

Теорема. Якщо функція у всіх точках інтервала має від’ємну другу похідну , то графік функції в цьому інтервалі опуклий. Якщо ж - графік ввігнутий.

Точка графіка неперервної функції , що відокремлює його частини опуклості і ввігнутості, є точкою перегину.

Достатня умова існування точок перегину. Якщо друга похідна при переході через точку , в якій вона дорівнює нулю або не існує, змінює знак, то точка графіка з абсцисою є точка перегину.

Результати проведеного дослідження функції рекомендується звести в таблицю, в першому рядку якої вказуються всі значення , виділені в результаті дослідження, як самої функції , так і її похідних і , а також інтервали, на які даними точками розбивається область визначення. У другому рядку вказуються значення функції на кожному з виділених інтервалів. У третьому рядку виділяються критичні точки функції і вказується знак першої похідної на кожному інтервалі. У четвертому рядку - знак другої похідної на кожному інтервалі. В останньому рядку за знаками визначається характер монотонності функції, за знаками опуклість (увігнутість) графіка функції, а також визначається характер виділених точок (точки максимуму, точки мінімуму, точки перегину).

Побудова графіка функції рекомендується почати з позначення на координатній площині точок, виділених в таблиці і побудови асимптот (якщо вони є). Для більш точного побудови можна обчислити значення функції в додаткових точках.

Наведемо приклади повного дослідження функції:

Приклад 1:

1. Область визначення:

2.

функція непарна.

3. Функція не є періодичною.

4. 

-нулі функції.

3. Функція непрервна на всій області визначення, тому вертикальних асимптот немає.

Пряма є похилою асимптотой графіка функції.

3. Знайдіть першу похідну:

при ,

не існуєть при , ,

Використовуючи достатні умови екстремуму, отримуємо, що - точка мінімума, -точка максимума.

3. Знайдемо другу похідну:

не існує при

В точках , , - перегин графіка.

Складаємо таблицю:

				-1	(-1;0)
	-	0	+		+
	+		+		-
	+		-		-
		перегин		max

Продовження таблиці

	0	(0;1)	1
	0	-	-	-	0	+
		-		+		+
		+		+		-
			min		перегин

Будуємо графік функції (рис.1).

Рис.1

Приклад 2:

1. Область визначення:

2.

функція парна. Подальше дослідження проведемо для .

3. Функція не є періодичною.

4 . при

5. Оскільки и - точки розриву

і ,

, ,

то и - вертикальні асимптоти.

- горизонтальна асимптота.

6. Знайдіть першу похідну:

при

не існує при .

- точка максимума.

7. Знайдемо другу похідну:

при

не існує при

Т.я. при функція не визначена, то точок перегину нема.

Складемо таблицю:

	0	(0;2)	2
	0	-	Не існує	+
		-		-
		-		+
	max		Вертикальна асимптота

Будуємо графік функції для , потім на інтервалі будуємо лінію, симетричну щодо осі (рис.2).

Рис.2

Приклад 3:

1. Область визначення:

Функція визначена для всіх , для котрих ,

т.е. .

2. Функція не є ні парною, ні непарною.

3. при

- головний період, головний проміжок .

4. при .

Проміжку належать точки .

5. В проміжку одна точка разриву , в інших точках функція неперервна.

, .

Пряма - вертикальна асимптота.

Похилих і горизонтальних асимптот немає.

6. Знайдіть першу похідну:

при ,

не існує при .

Отже, точок екстремуму немає.

7. Знайдемо другу похідну:

, якщо ,

т.е.

З цієї множини проміжку належить точка .

не існує при .

Складемо таблицю:

	0
	0	+		+		-	0
		+		+		+
		-		+		-
			перегин		вертикальна асимптота

Будуємо графік функції на проміжку , потім використовуємо її періодичність (рис.3).

Рис.3

Приклад 4: Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку .

1. Знайдемо критичні точки на

при

не належить

2. Обчислимо значення функції в критичній точці і на кінцях відрізка .

1. Серед отриманих значень функції виберемо найбільше та найменше:

Приклад 5: Потрібно розмістити на землі ділянку площею 1800 м², що складається з трьох прямокутних частин і має форму, зображену на рисунку 4, де FG=EF=10м, BC=15м і CD≥40м. Знайти найменше значення периметра такої ділянки.

Рис. 4

1. Площа ділянки ABCDEFGH дорівнює S=1800, а його периметр дорівнює периметру P прямокутника KLHA.

П означимо KL=x, LH=y і CD=z.

Тоді , z≥40 і .

Тому і .

2. Досліджуємо функцію , за допомогою похідної:

;

при ,

при ,

при

- точка мінімума функції .

Тому найменше значення функція приймає в точці :

.

Отжк,

3. Якщо ділянка ABCDEFGH така, що і , то , і для такої ділянки виконана рівність .

Таким чином, .

Варіанти для індивидуальної контрольної роботи

Варіант 1
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	На сторінці книги надрукований текст (разом з проміжками) повинен займати 216 см2. Верхнє і нижнє поля повинні бути по 3 см, а праве і ліве по 2 см. Якими мають бути розміри сторінки, для того щоб її площа була найменшою?
Варіант 2
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	Нехтуючи опором повітря, в першому наближенні можна вважати, що рух вертикально запущеної метеорологічної ракети відбувається за законом , де - початкова швидкість, а . Визначте, яку треба надати ракеті початкову швидкість , для того щоб вона піднялася на висоту 200 м.

Варіант 3
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	В точках A і B знаходяться джерела світла, сили відповідно F1 і F2. На відрізку AB , який дорівнює a знайти найменш освітлену точку M (освітленість точки оберненопропорційна квадрату її відстані від джерела світла: , ).
Варіант 4
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	Смуга жерсті шириною а повинна бути зігнута у вигляді відкритого жолоба так, щоб поперечний переріз жолоба мав форму кругового сегмента. Яким повинен бути центральний кут, що спирається на цей сегмент, для того щоб місткість жолоби була найбільшою?
Варіант 5
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	Через точку А(3;5) Провести пряму з від’ємним кутовим коефіцієнтом так, щоб площа трикутника, утвореного нею з осями координат, була найменшою.
Варіант 6
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	Посудина, що складається з циліндра, що закінчується знизу півсферою, повиненна вміщати 18 літрів води. Знайти розміри посудини, при яких на його виготовлення піде найменша кількість матеріалу.
Варіант 7
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	Знайти радіус основи і висоту конуса найменшого обсягу, описаного біля кулі радіуса R.
Варіант 8
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	При яких лінійних розмірах закрита циліндрична банка даної місткості V матиме найменшу повну поверхню?
Варіант 9
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	Знайти радіус основи і висоту циліндра з найбільшою бічною поверхнею, який можна вписати у кулю радіуса R.
Варіант 10
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	Знайти радіус основи і висоту циліндра найбільшого об’єму, який можна вписати у кулю радіуса R.
Варіант 11
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	Якими мають бути коефіцієнти p і q тричлена , щоб цей тричлен при мав мінімум, який дорівнює 1?
Варіант 12
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	Лампа висить над центром круглого столу радіусом r. При якій висоті лампи над столом освітленість предмета, що лежить на краю столу, буде найкращим? (Освітленість прямо пропорційна квадрату відстані від джерела , де ).
Варіант 13
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	Через точку А(2;1) провести пряму з від’ємним кутовим коефіцієнтом так, щоб сума довжин відрізків, що відсікаються нею на осях координат, була найменшою.
Варіант 14
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	Дротом довжиною 20 м потрібно обгородити клумбу, яка повинна мати форму кругового сектора. Який слід взяти радіус кола, щоб площа клумби була найбільшою?
Варіант 15
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	Потрібно встановити намет даного об’єму V, що має форму прямого кругового конуса. Знайти відношення висоти конуса до радіусу його основи, при якому на намет піде найменша кількість матеріалу.
Варіант 16
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	Енергія, що витрачається на рух теплохода, пропорційна кубу його швидкості, що розвивається двигуном в стоячій воді. Знайти найбільш економічну швидкість руху теплохода якщо потрібно пройти певну відстань l проти течії, швидкість якої становить 6 км/год.
Варіант 17
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	Потрібно виготовити з жерсті відро даного об’єму циліндричної форми без кришки. Знайти висоту циліндра і радіус його основи, при якому на відро піде найменша кількість матеріалу.
Варіант 18
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	Дощова крапля, початкова маса якої дорівнює , падає під дією сили тяжіння, рівномірно випаровуючись так, що зменшення маси пропорційне часу (коефіцієнт пропорційності дорівнює k). Знайти, через скільки секунд після початку падіння кінетична енергія краплі буде найбільшою. При розв’язанні завдання опором повітря знехтувати.
Варіант 19
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	Знайти сторони прямокутника найбільшої площі, який можна вписати в еліпс з осями 2a і 2b.
Варіант 20
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	З круглої колоди діаметра d потрібно вирізати балку прямокутного перерізу. Якими мають бути ширина і висота цього перерізу, щоб балка чинила опір на вигин? (Опір балки на вигин пропорційний добутку ширини її поперечного перерізу на квадрат її висоти , ).
Варіант 21
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	Вікно має форму прямокутника, завершеного півколом. Периметр вікна дорівнює 300 см. При яких розмірах сторін прямокутника вікно буде пропускати найбільшу кількість світла?
Варіант 22
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	Через яку точку еліпса слід провести дотичну, щоб площа трикутника, утвореного цією дотичною і осями координат, була найменшою?
Варіант 23
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 2p. Якими мають бути його сторони, щоб об’єм конуса, утвореного обертанням цього трикутника навколо своєї висоти, був найбільшим?

Варіант 24
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	Периметр рівнобедреного трикутника 2p. Якими мають бути його сторони, щоб об’єм тіла, утвореного обертанням цього трикутника навколо його основи, був найбільшим?
Варіант 25
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	З кола вирізаний сектор з центральним кутом . З сектора згорнута конічна поверхня. При якому значенні кута об’єм отриманого конуса буде найбільшим?
Варіант 26
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	Потрібно виготовити ящик з кришкою, об’єм якого був би рівний 72 см, причому, сторони основи відносилися б як 1: 2. Якими мають бути розміри усіх сторін, щоб повна поверхня була найменшою?
Варіант 27
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	Покрівельник бажає зробити відкритий жолоб найбільшої місткості, у якого дно і боки були б по 10 см і боки були б однаково нахилені до дна. Яка повинна бути ширина жолоба вгорі?
Варіант 28
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	Потрібно побудувати котел, що складається з циліндра, завершеного напівсферами, зі стінками постійної товщини так, щоб при даному об’ємі V він мав найменшу зовнішню поверхню.
Варіант 29
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	На параболі знайти точку, найближчу до точки (3;0).
Варіант 30
1.	Провести повне дослідження функцій методами диференціального числення і побудувати графіки:
	а)		б)		в)
2.	Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:
3.	Знайти висоту і радіус циліндра найбільшого об'єму, виточеної з кулі радіуса R.