2. Похідна функції

Завдання 3.2

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайдіть похідну функції

2. Знайти похідні складних функцій

3. Знайти похідні функцій:

а) неявно заданих; б) використовуючи логарифмічне диференціювання; в) заданої параметрично

4. Знайти похідні вищих порядків

5. Рівняння дотичної та нормалі до кривої

6. Перевірити справедливість теореми Ролля (або Лагранжа, або Коші) для функцій на відрізку [а; b].

Зразок розв’язання

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайдіть похідну функції

Розв’язання:

1. Надаємо аргументу довільний приріст та, підставляючи в даний вираз функції замість розширене значення , знаходимо розширене значення функції

В данному випадку

2. Знаходимо приріст функції

3. Ділимо приріст функції на приріст аргументу, тобто, складемо відношення

4. Шукаємо границю цього відношення при . Ця границя і дасть шукану похідну від функції ;

2. Похідна складної функції

Похідна складної функції дорівнює добутку її похідної по проміжному аргументу на похідну цього аргументу по незалежній змінній.

Знайти похідні наступних функцій:

Розв’язання:

2. а) Похідна неявної функції

Знайти для данной неявної функції

Розв’язання:

Диференціюючи по обидві частини рівності, де є функція від , отримуємо .

Враховуючи, що , отримуємо

б) Логарифмічні диференціювання

Логарифмічне диференціювання корисно застосовувати для знаходження похідної від показово-статечної функції , де - функції від та коли задана функція містить операції, що логарифмуються (множення, ділення, піднесення до степені, добування кореня). Знайти похідні наступних функцій:

Розв’язання:

Застосовуючи логарифмічне диференціювання, послідовно знаходимо:

в) Похідна від функції, заданої параметрично

Похідна

Знайти похідну для функції, заданної параметрично

Розв’язання:

Знайдемо . Отже,

2. Похідні вищих порядків

а) Похідна явної функції

Розв’язання:

Диференціюючи функцію , отримаємо .

Диференціюючи похідну , отримаємо

б) Похідна неявної функції

Для даної неявної функції знайти .

Розв’язання:

Диференціюємо по обидві частини рівняння, де є функція від , отримаємо

Звідси знайдемо .

Знайдемо :

Підставляємо в ліву частину знайдену похідну , отримаємо:

.

Враховуючи, що ,отримаємо або

б) Похідна від функції, заданої параметрично

Для функції, заданної параметрично, знайти .

Розв’язання:

Знаходимо похідні за параметром .

Далі знаходимо похідну від , а потім шукану другу похідну від як відношення похідних від і від .

V. Рівняння дотичної та нормалі до кривої

Якщо плоска крива розташована в прямокутній системі координат, то рівняння дотичної та нормалі до неї в точці мають вигляд:

, де - значення в точці похідної з рівняння кривої.

Знайти рівняння дотичної та нормалі до еліпса в точке, де .

Розв’язання:

При , , отримаємо точку

Знайдем

При , отримаємо .

Рівняння дотичної :

Рівняння нормалі:

VІ. Теорема Ролля, Лагранжа і Коши.

Теорема Ролля

Якщо функція :

1. неперервна на відрізку [a, b]

2. має скінчену похідну в кожній точці інтервалу (a, b)

3. приймає рівні значення на кінцях відрізка, , то в інтервалі (a, b) існує принаймні одна точка с, в якій похідна функції перетворюється в нуль: .

Функція на кінцях відрізка [0;4] приймає рівні значення .

Чи справедливою є для цієї функції теорема Ролля на відрізку [0, 4]?

Розв’язання:

Знайдемо . При , не існує. Порушена друга умова теореми Ролля.

Теорема Лагранжа.

Якщо функція :

1. неперервна на відрізку [a, b]

2. має скінчену похідну в кожній точці інтервалу (a, b), то знайдеться принаймні одна внутрішня точка з інтервалу (a, b), , для якої .

Перевірити виконання умов теореми Лагранжа для функції і знайти відповідне проміжне значення с.

Розв’язання:

Функція неперервна і диференційована для всіх значень , причому . Звідси за формулами Лагранжа маємо

Отже, ; відповідним умовам задовольняє тільки значення , для якого справедлива нерівність .

Теорема Коші.

Нехай функції задовольняють наступним умовам:

1. неперервна на відрізку [a, b]

2. мають скінчені похідні у всіх точках інтервалу (a, b)

3. для будь-якого , тоді всередені відрізкам [a, b] знайдется така точка , , що

Перевірити справедливість формули Коші для функцій на відрізку [1; 2].

Розв’язання:

Функції неперервні і мають похіднпри всіх значеннях . Похідні даних функцій рівні відповідно . На відрізку [1;2], .

Тоді між двома значеннями і існує значення , що задовольняє рівності

.

Варіанти для індивидуальної контрольної роботи.

Варіант 1

1. Використовуючи оизначення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

4. Знайти

а) в)

б)

5. Знайдіть координати точки перетину двох дотичних, проведених до графіка функції : перша в точці з абсцисою , друга з абсцисою

6. Чи буде виконуватися теорема Ролля для функції на відрізку [0, 8]. Якщо так, то знайти відповідне значення.

Варіант 2

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

4. Знайти

а) в)

б)

5. До параболи в точці з абсцисою проведена дотична. Знайдіть точку перетину цієї дотичної з віссю ОX.

6. Записавши формулу Лагранжа для функції на відрізку [0; 1], знайти на интервалі (0, 1) відповідне значення .

Варіант 3

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

4. Знайти

а)

б) в)

5.Знайдіть координати точки перетину двох дотичних, проведених до графіка функції : перша в точці на графіку з абсцисою , а друга в точці з абсцисою .

6. Записавши формулу Коші для функцій та на відрізку [0, 2], знайти відповідне значення .

Варіант 4

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

4. Знайти

а) в)

б)

5. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в точках перетину з прямою .

6. Функція має на кінцях відрізку[-1, 1] рівнозначні (перевірте!). Її похідна дорівнює нулю тільки в двох точках (перевірте!), розташованих за межами цього відрізка. Яка причина порушення теореми Ролля?

Варіант 5

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

4. Знайти

а) в)

б)

5. В якій точці дотична до параболи паралельна прямій ?

6. Чи задовольняє функція умови теореми Лагранжа на відрізку [-2, 0] ? Якщо так, знайти відповідне значення .

Варіант 6

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

4. Знайти

а) в)

б)

5. Знайти точки в яких дотична до кривої паралельні до вісі абсцис.

6. Перевірити, що функції задовольняють умовам теореми Коші на відрізку [1, 4] і знайти відповідне значення .

Варіант 7

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

4. Знайти

а) в)

б)

5. Написати рівняння дотичної і нормалі в точці (2, 2) до кривої

6. Задана функція . Нехай . Тоді . Але похідна не дорівнює нулю в жодній точці інтервалу (0,16). Чи суперечить це теоремі Ролля?

Варіант 8

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

4. Показати, що функція задовольняє рівняння

5. Знайти

а) в)

б)

5. Написати рівняння дотичної та нормалі до кривої в точці (1, 2).

6. Чи задовольняють функції умовам теореми Коші на відрізку

[-3, 3].

Варіант 9

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

4. Знайти

а) в)

б)

5. В якій точці кривої дотична перпендикулярна до прямої .

6. Перевірити, чи можна застосувати теорему Лагранжа до функції на відрізку [0, 1]. Якщо так, знайти відповідне значення .

Варіант 10

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

4. Знайти

а) в)

б)

5. Який кут утворює з віссю абсцис дотична до параболи , проведена в точці з ординатою ? Написати рівняння цієї дотичної і нормалі.

6. Для функцій перевірити виконання умов теореми Коші на відрізку [ ] і знайти відповідне .

Варіант 11

1. Використовуючи означення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції

2. Знайти похідну складної функції

3. Знайти

4. Знайти

а) в)

б)