Розрахунково-графічна робота № 3 функція

3.1 Границі

Завдання 3.1

1. Обчислити границю послідовності

2 Довести, використавши означення границі.

3. Знайти границю функції

4. Вказати характер точок розриву функції.

Зразок розв’язання

1. Обчислити границю послідовності

.

Розв’язання. Розпишемо факторіали, що стоять в чисельнику і знаменнику через найменший, тобто через .

Відповідь. 0.

2. Довести, що .

Розв’язання. За означенням, границя функції при дорівнює 7, якщо для будь-якого  існує таке , що для всіх з - околу точки таких, що справедлива нерівність:

Тоді . Отже, різниця між значеннями функції і числом 7 меньше для всіх з околу точки . Тим самим твердження, що доведене.

3. Знайти границю функцій.

а) знайти

Розв’язання. Перш за все, перевіримо, чи можуть бути застосовані до даного дробу теореми про границі, або ми маємо справу з невизначеністю. Для цього знайдемо границі чисельника і знаменника дробу. Функції і нескінченно великі. Тому, . Отже, маємо справу з невизначеністю виду .

Для розкриття цієї невизначеності винесемо в чисельнику і в знаменнику старший для чисельника і знаменника степінь як множник і скоротимо дріб.

Відповідь. 0.

б) знайти

Розв’язання. Для розкриття невизначеності в цьому випадку, потрібно розкласти чисельник і знаменник на множники і скоротити дріб на спільний множник.

Відповідь. -9.

в) знайти .

Розв’язання. Для розкриття невизначеності в цьому випадку, потрібно помножити чисельник і знаменник на вираз, спряжений до чисельника, а потім скоротити дріб на спільний множник.

Відповідь. .

г) знайти

Розв’язання. Для розкриття невизначеності в цьому випадку, потрібно виділити першу важливу границю:

Відповідь. k.

д) знайти .

Розв’язання. Для розкриття невизначеності в цьому випадку, потрібно виділити другу важливу границю: .

Відповідь. .

е) знайти .

Розв’язання. Обчислення границі пов'язане з розкриттям невизначеності виду . Для розкриття цієї невизначеності потрібно різницю перетворити вдріб, тобто невизначеність звести до невизначеності або . Для цього необхідно позбутися ірраціональності. Помножимо і розділимо вираз на спряжений вираз та використаємо формулу різниці квадратів.

.

Відповідь. .

ж) знайти

Розв’язання. Для розкриття невизначеності її необхідно перетворити в дріб, тобто невизначеність звести до невизначеності або .

Виділити першу важливу границю, тобто помножити чисельник і знаменник на . Отримуємо,

.

Відповідь. .

з) знайти

Розв’язання. Для розкриття невизначеності в цьому випадку, потрібно виділити другу важливу границю: .

Відповідь. .

і) знайти .

Розв’язання. Для розкриття невизначеності , потрібно в чисельнику і в знаменнику виділити множник . Для цього чисельник і знаменник поділимо на :

.

=

Відповідь. .

4. Вказати характер точок розриву функції .

Розв’язання. Знайдемо лівиу і праву границю функції в точці .

Ліва границя скінченна і дорівнює 0, а права нескінченна. Тоді, за означенням, - точка розриву другого роду.

Варіанти для індивидуальної контрольної роботи.

Варіант 1

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

е) ; д)

ж) ; з) ;

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

.

Варіант 2

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

.

Варіант 3

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

.

Варіант 4

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

.

Варіант 5

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) );

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

.

Варіант 6

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

.

Варіант 7

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

.

Варіант 8

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

.

Варіант 9

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

.

Варіант 10

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) .

4 Вказати характер точок розриву функції.

Варіант 11

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

Варіант 12

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

.

Варіант 13

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) ;

4. Вказати характер точок розриву функції.

.

Варіант 14

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з). ;

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

Варіант 15

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

Варіант 16

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

Варіант 17

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

.

Варіант 18

1. Обчислити границю послідовності.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

.

Варіант 19

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

.

Варіант 20

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

.

Варіант 21

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

.

Варіант 22

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

.

Варіант 23

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

.

Варіант 24

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

.

Варіант 25

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

.

Варіант 26

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

.

Варіант 27

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

.

Варіант 28

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

.

Варіант 29

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

.

Варіант 30

1. Обчислити границю послідовності.

.

2. Довести використовуючи означення границі.

.

3. Обчислити границі функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) .

4. Вказати характер точок розриву функції.

.