Исключение систематических погрешностей

Исключение систематических погрешностей из результатов наблюдений прово­дится либо расчетным путем, либо по результатам поверки. После исключения систематических погрешностей все дальнейшие вычисления проводятся для исправленного ряда наблюдений. Если во всех результатах наблюдений содержится постоянная систематическая погрешность, допускается исключать ее после вычисления среднего арифметического неисправленных результатов наблюдений.

Для вычисления среднего арифметического ряда наблюдений; оценки СКО наблюдений; вычисление оценки СКО результата измерения необходимо использовать типовые формулы.

Проверка гипотезы о принадлежности результатов наблюдений нормальному распределению

Чтобы установить, принадлежат (или не принадлежат) результаты наблюдений тому или иному распределению, необходимо сравнить экспериментальную фун­кцию распределения с предполагаемой теоретической. Сравнение осуществляет­ся с помощью критериев согласия.

Существует несколько критериев согласия для проверки законов распределения случайной величины. Это критерии Колмогорова, Пирсона и др. В случае проверки принадлежности результатов наблюдений к нормальному распределению предпочтительным, при числе результатов n > 50, является один из критериев: χ² (Пирсона) или ω² Мизеса-Смирнова, Колмогорова.

Отличаясь простотой применения, критерий Колмогорова уступает критерию хи-квадрат по степени доверия к результатам идентификации законов распределения. Применение метода моментов требует наличия большого количества измерений. Для надежной оценки первого момента (математического ожидания) требуется выборка n > 30, для оценки вторых моментов – n > 100, для оценки третьих моментов – n >1000. Поэтому при небольших выборках применение метода моментов практически ограничено.

Критерий Пирсона – это наиболее часто употребляемый критерий для проверки закона распределения случайной величины.

При числе результатов наблюдений 15< n < 50 производят приближенную проверку их принадлежности к нормальному распределению путем использования составного критерия. При n ≤ 15 гипотеза о принадлежности результатов наблюдений к какому-либо распределению не проверяется.

Если при этом имеется априорная инфор­мация о том, что нет причин, которые могли бы вызвать заметное отклонение рас­пределения результатов от нормального закона, но близкое к нему, то для обработки результатов наблюдений следует использовать распределение Стьюдента.

Для проверки принадлежности результатов наблюдений к нормальному рас­пределению с помощью критерия согласия Пирсона необходимо сначала постро­ить гистограмму.

По результатам анализа гистограммы высказывается гипотеза о виде закона распределения экспериментальных данных и о численных характеристиках (для нормального распределения это характеристики - ма­тематическое ожидание и дисперсия).

После этого используют критерий согла­сия для проверки гипотезы.

Критерий согласия χ² Пирсона имеет вид:

(5.4)

где χ² – величина, характеризующая меру отклонения результатов наблюдений от теоретически предсказанных; n_j – «количество» попадания результатов наблюдений в j интервал; Р_j − теоретические значения вероятности попадания результатов в j интер­вал, которые вычисляются по формуле:

(5.5)

где - функция Лапласа,

Таблица значений функций Лапласа приведена в приложении.

После вычисления значения χ² для заданной доверительной вероятности Р_Д и числа степеней свободы v = r - k – 1 (где r - количество разрядов разбиения, k - число параметров, необходимых для определения теоретической функции рас­пределения, равное для нормального закона распределения двум), по таблицам χ² - распределения находят критическое значение критерия согласия χ²_кр. В техни­ческой практике обычно задаются Р_д = 0,95, что соответствует вероятности 0,05 совершить ошибку первого рода, т. е. отвергнуть правильную гипотезу. Значения χ²_кр приведены в приложении.

Если χ²<χ²_кр, принимают гипотезу о том, что результаты наблюдений принад­лежат нормальному распределению, характеризующемуся оценками математического ожи­дания и дисперсией. В противном случае (χ²>χ²_кр) гипотеза отвергается.

Следует иметь ввиду, что нормальное распределения возникает тогда, когда на величину действует много несвязанных слабых факторов.