3.6 Задачі прийняття рішень в умовах ризику та невизначеності

Одним з принципів класифікації задач дослідження операцій пов’язаних з типом інформаційного стану особи, яка приймає рішення. У відповідності з цим принципом усі задачі дослідження операцій можуть бути розподілені на три класи: детерміновані, стохастичні й невизначені.

Детерміновані задачі дослідження операцій виникають лише при наявності всієї необхідної інформації. Тому їх називають задачами прийняття рішень в умовах визначеності.

Обмеженість або неточність інформації призводить до однієї з двох можливих ситуацій: 1) прийняття рішень в умовах ризику (задачі прийняття рішень в умовах ризику); 2) прийняття рішень в умовах невизначеності (задачі прийняття рішень в умовах невизначеності) У першому випадку ступінь неповноти вихідної інформації знаходить своє відображення у вигляді законів розподілу випадкових величин, які входять у стохастичні моделі прийняття рішень. У другому випадку апріорна інформація про закони розподілу відповідних випадкових величин не відома.

Таким чином, по відношенню до вихідної інформації визначеність й невизначеність являють собою два крайніх випадки, а ризик визначає проміжну ситуацію.

Розглянемо загальні положення теорії прийняття рішень в умовах ризику й невизначеності, тобто в умовах неповної інформації.

1. Одноетапні процедури прийняття рішень в умовах ризику

У загальному випадку в задачах прийняття рішень в умовах ризику використовують принципи оптимальності, які, як правило, базуються на таких характеристиках:

1) очікуване значення доходів, витрат й т.д.;

2) комбінація очікуваного значення та його дисперсії;

3) заданий граничний рівень очікуваного значення;

4)найбільш ймовірна подія у майбутньому.

Проаналізуємо скалярні критерії, які найбільш частіше використовуються при прийнятті рішень в умовах ризику з тим щоб для кожного з них визначити галузі не тільки можливого, але й найбільш доцільного застосування.

Критерії очікуваного значення. Використання цього критерія, що обумовлене прагненням максимізувати очікуваний прибуток або мінімізувати очікувані витрати , являє собою природний перехід в задачах прийняття рішень від умов визначеності до умов ризику. Кількісно критерій очікуваного значення можна виразити у грошових одиницях або в одиницях корисності грошей. Для уяснення принципіальної відміни між грошовою одиницею і одиницею корисності грошей звернемося до наступного приклада.

Приклад 3.2. Припустимо, що інвестиції у 20000 грошових одиниць з рівними ймовірностями дають або нульовий дохід, або дохід в 100000 грошових одиниць. У цьому випадку очікуваний дохід складає

грошових одиниць й на перший погляд може показувати, що рішення про вкладення 20000 грошових одиниць є оптимальним. В дійсності ж таке рішення є прийнятним не для усіх інвесторів.

Наприклад, інвестор А може полагати, що з обмеженості наявної готівки втрата 20000 грошових одиниць може призвести до його банкрутства, й, можливо, надасть перевагу у не вкладення грошей при таких обставинах. Напроти, інвестор В, який має багато бездіяльного капіталу, що значно перебільшує необхідну готівку, може охотно пійти на ризик.

Цей простий приклад ілюструє значення відношення особи, яка приймає рішення (ОПР), до цінності або корисності грошей. Даний фактор можна проілюструвати ще більш наочно, якщо знову звернутися до інвестора А.

Припустимо, що інвестор А не хоче ризикувати сумою більш чим у 5000 грошових одиниць й у нього є дві можливості: 1) вкласти 20000 й з рівними ймовірностями отримати або 10000, або 0; 2) вкласти 5000 та з ймовірністю 0,5 отримати або 23000, або з тією ж ймовірністю нічого не отримати.

З таких умов слідує, що інвестору нічого не остається, як вибрати друге рішення, хоча очікуваний у цьому випадку прибуток

набагато менший, чим при виборі першого рішення .

Розглянутий приклад показує, що корисність грошей не обов’язково пропорційна їх кількості. Відмітимо також, що поняття корисності важко формалізувати. На практиці вплив корисності грошей може бути відображено введенням додаткових обмежень, які віддзеркалюють поведінку особи, яка приймає рішення. Ця ситуація зустрілася прикладі 3.2, В якому був введений максимальний рівень витрат, що задовольняє інвестора А.

Таким чином, у загальному випадку доцільно використовувати очікуване значення вартісного вираження як єдиного критерія. Екстремальне значення цього критерія може служити лише орієнтиром, а остаточне рішення може бути прийняте тільки з урахуванням усіх існуючих факторів, що визначають відношення ОПР до корисності грошей.

Зупинимось на формальному аспекті практичного використання скалярного критерія типу „очікуване значення” у задачах прийняття рішень в умовах ризику. Нехай - випадкова виборка об’єму n з генеральної сукупності випадкової величини , що має математичне очікування m і дисперсію , тобто і . У такому випадку вибіркове середнє

має такі числові характеристики:

, при .

Таким чином використання критерія „очікуване значення” припустимо лише тоді, коли одне й те рішення доводиться приймати достатньо велику кількість разів (значення n велике). Тоді випадкова величина починає проявляти властивість сталості, що є основним змістом закону великих чисел , й для будь-якого існує межа.

,тобто при таких умовах середнє арифметичне спостережень значень випадкової величини сходиться по ймовірності до середнього арифметичного їх математичного очікування.

Приклад 2. Кожний з n однотипних верстатів ремонтується індивідуально, якщо він зупинився з причини несправності, а через Т одиничних часових інтервалів проводиться профілактичний ремонт усіх n верстатів.

Необхідно знайти оптимальне значення Т, при якому мінімізуються загальні витрати на ремонт верстатів, що вийшли з ладу, та профілактичний ремонт у розрахунку на один одиничний часовий інтервал.

Нехай Р_k – ймовірність виходу з ладу одного верстата у k-му одиничному часовому інтервалі, , а n_k - число верстатів, що вийшли з ладу у k-му одиничному часовому інтервалі. З умов задачі, що розглядається, слідує, що - дискретна випадкова величина, розподілена по біноміальному закону з параметрами n, P_k й математичним очікуванням .

Біноміальний розподіл, або розподіл Бернуллі – розподіл дискретної випадкової величини, яка приймає два значення 1 або 0.

Цей розподіл показує ймовірність настання деякої події за n незалежних повторних випробувань, у кожному з яких подія настає з ймовірністю р, тобто ймовірність s успішних наслідків у n випробуваннях

Функція розподілу ймовірності має такий вигляд:

.

Нехай далі С₁ – витрати на ремонт одного верстата, що вийшов з ладу, а С₂ – витрати на профілактичний ремонт одного верстата. Тоді загальні витрати на ремонт верстатів, що вийшли з ладу, й профілактичний ремонт у розрахунку на один одиничний часовий інтервал являють собою випадкову величину

Застосування критерія очікуваного значення у випадку, що розглядається буде виправданим, якщо верстати розраховані на тривалу експлуатацію. При цьому очікувані витрати на один одиничний інтервал часу складатиме

Для ілюстрації проведених міркувань в табл.3.11 наведені ймовірності Р_k виходу з ладу одного верстата й результати розрахунків очікуваних витрат на один одиничний часовий інтервал при С₁ = 100, С₂ = 10 та n = 50, з яких слідує, що оптимальне значення Т дорівнює 3, тобто профілактичний ремонт необхідно проводити через 3 одиничних часових інтервали.

Табл. 3.11

Дані для прикладу 3.3

Т	K	Pk
1	1	0,05	0,05	750
2	2	0,07	0,12	550
3	3	0,10	0,22	533
4	4	0,13	0,35	562
5	5	0,53	0,53	630

Критерій „очікуване значення – дисперсія”.

При аналізі критерія очікуваного значеннями з’ясували, що його використання в задачах прийняття рішень в умовах ризику виправдане лише для багатократно повторюваних ситуацій. А так як цей критерій є дуже зручним при розв’язуванні практичних завдань, спробуємо адаптувати цей прикрій для ситуацій, що зустрічаються рідко.

Припустимо, що величина доходу є випадковою величиною з математичним очікуванням m і дисперсією .

Введемо функцію корисності доходу , яка потрібна нам лише для обґрунтування виду критерія, що конструюється.

Вважаючи, що скалярна функція є достатньо гладкою навколо точки х = m, наближено подано функцію корисності доходу по формулі Тейлора:

.

Таким чином, очікуване значення функції корисності доходу визначається такою наближеною рівністю:

Отримане співвідношення вказує на те, що доцільно врахувати не тільки очікуваний прибуток, але й його дисперсію.

Враховуючи, що формалізація поняття функції корисності доходу дуже важка, у задачах прийняття рішень в умовах ризику для ситуацій, що рідко зустрічаються, як правило, використовують не критерій очікуваного значення функції корисності доходу, а критерій „очікуване значення – дисперсія”.

де значення параметра K інтерпретують як рівень несхильності до ризику.

Так, наприклад, якщо випадкова величина являє собою прибуток, інвестор, який особливо гостро реагує на можливі великі відхилення прибутку донизу від його очікуваного значення, може вибрати велике значення К. Це надасть велику вагу дисперсії й призведе до рішення, що зменшує ймовірність великої витрати прибутку.

Приклад 3.4. Повернемося до приклада 2., але замість критерія очікуваного значення використаємо критерій „очікуване значення – дисперсія”. Для цього нам необхідно визначити дисперсію витрат на один одиничний часовий інтервал:

де - незалежні випадкові величини, що розподілені по біномінальному закону з математичним очікуванням і дисперсією

Таким чином,

й у випадку, що розглядається (див. приклад 2.), критерій „очікуване значення – дисперсія” має вигляд

Звернемо увагу на те, що у даному випадку сумується з , бо мова йде про витрати, що виражаються цією сумою, й смисл задачі – звести витрати до мінімуму.

В таблиці 3.11. наведені результати розрахунків для задачі з приклада 3.2., які виконані з використанням критерія „очікуване значення – дисперсія” й даних з табл.3.12.

Табл. 3.12

Дані для прикладу 3.4

Т	К	Рk			M/D	M+D
1	1	0,05	750	23750	0,03	24500
2	2	0,07	550	14075	0,04	14625
3	3	0,10	533	11256	0,05	11789
4	4	0,13	562	9866	0,06050,06 з табл.ня - дисперсія"ритерія "я задачі з приклада 2.,адачі - звий інтя використуємо критерій "від його туацій, що рід	10428
5	5	0,18	630	9266	0,07	9896

У даному випадку для й характер зміни значень використаного критерію у залежності від Т у значному ступені буде визначатися параметром К, який інтерпретується як рівень несхильності до ризику.

Якщо К=1 (це означає рівноправність математичного очікування і дисперсія), то в сумі математичного очікування і дисперсії остання придушує математичне очікування (див. табл.3.12) й оптимальним стає рішення , яке відмінне від отриманого за допомогою критерію очікуваного значення (див. приклад 3.3).

Розглянутий приклад є наочною ілюстрацією того, що коректне використання критерію „очікуване значення – дисперсія” при прийнятті рішень в умовах ризику проблематичне. Ефективність практичного застосування цього критерію в значному ступені пов’язана з обґрунтуванням рівня несхильності до ризику, що дуже утруднено. В основному це пов’язане з тим, що компоненти критерію „очікуване значення – дисперсія” не є нормированими (див. табл.3.12)

Зауваження 1. Для випадкової величини з математичним очікуванням m дисперсією , згідно другої нерівності Чебишева, маємо

Тему в задачі з приклада 2. у якості критерію оптимальності можна використати мінімум функціонала

У цьому випадку, згідно даним табл.3.12, маємо Оптимальним є рішення = 3, якому відповідає мінімальне значення функціонала f(Т).

Критерій граничного рівня.

Розглянемо ситуацію, коли на продаж виставлений уживаний автомобіль. Вказавши запропоновану ціну, продавець повинен в розумно короткий строк вирішити, чиє ця ціна для нього прийнятна. З цією метою він може встановити ціну нижче якої автомобіль не може бути проданий (граничний рівень), й погодитися з першим покупцем, який запропонує ціну вище цього рівня.

У розглянутій однокроковій процедурі прийняття рішень використаний критерій, який називають критерієм граничного рівня.

Використання критерію граничного рівня при прийняття рішень в умовах ризику у загальному випадку не призводить до знаходження оптимального рішення, наприклад, того, що максимізує прибуток або мінімізує витрати. Скоріше, він відповідає визначення прийнятного способу дій. Дійсно, якщо повернутися до ситуації з продавцем уживаного автомобіля, то можна замітити, що одне з наступних пропозицій може бути більш вигідним, чим перша запропонована ціна, що перебільшує граничний рівень.

Одним з переваг критерію граничного рівняє те, що його практичне використання не передбачує обов’язкового знання способів розподілення відповідних випадкових величин. Однак знання цих законів дозволяє не тільки уникнути труднощів, що пов’язані з формалізацією різних понять, але й більш обґрунтовано призначити граничний рівень.

Приклад 3.5. Нехай величина попиту в одиницях часу на деякий товар, яка називається інтенсивністю попиту, є випадковою величиною з функцією щільності ймовірності

Якщо у вихідний момент часу запаси товару невеликі, то у подальшому можливий дефіцит товару, який виражається випадковою величиною . У протилежному випадку: до кінця періоду, що розглядається, запаси нереалізованого товару можуть стати дуже великими, тобто можуть утворюватися надлишки товару, який виражається випадковою величиною . В обох випадках неминучі втрати. У першому випадку зменшиться потенціальний прибуток й можлива втрата клієнтів, а у другому випадку зростають втрати, які пов’язані з купівлею товару, й витрати на його складування.

Можливий компроміс міститься у виборі рішення, що встановлює визначений баланс між двома видами втрат, Визначити втрати, зо викликані дефіцитом товару, дуже важко. Тому ОПР може встановити необхідний рівень запасів L таким чином, що величина очікуваного дефіциту не перевищувала А, а величина очікуваний надлишків не перевищувала В. Таким чином у випадку, що розглядається:

При цьому з виду функції щільності ймовірностей f(x) витікає, що L належить до відрізка [10,20] й, як наслідок,

або, теж саме

Граничне значення А очікуваного дефіциту та В очікуваного надлишку повинні бути вибрані так, щоб обидва отримані нерівності задовольняли хоча б для одного значення L. Та, наприклад, якщо А=2 і В=4, то нерівність для визначення необхідного рівня запасів L приймають такий вид

Значення L належить відрізку [10,20] так, як саме в цьому діапазоні змінюється величина попиту в одиницю часу.

Результати розрахунків, які містяться в табл. 3.13, показують, що обидва обмеження задовольняються для будь-якого L [13,17], тобто будь-які значення L із замкненого інтервалу [13,17] задовольняють умовам вихідної задачі.

Табл. 3.13

Дані для приклада 3.5

L	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
lnL-0,05	1,80	1,84	1,88	1,91	1,94	1,96	1,97	1,98	1,99	1,99	1,99
lnL-0,1	1,30	1,29	1,28	1,26	1,24	1,21	1,17	1,13	1,09	1,04	0,99

У загальному випадку критерій граничного рівня може бути використаний й в задачах прийняття рішень в умовах невизначеності.

Критерій найбільшого ймовірного виходу.

В основі цього критерію лежить перетворення випадкової ситуації до детермінованої шляхом заміни випадкової величини її єдиним можливим значенням, що має найбільшу ймовірність реалізації.

Приклад 5. Якщо дохід С від деякого виробу являє собою дискретну величину з множиною можливих значень , то величина С , така, що

може розглядатися як детерміноване значення доходу від цього виробу.

Критерій найбільш ймовірного виходу можна розглядати як спрощений варіант деякого більш складного критерію для прийняття рішень в умовах ризику. Але це спрощення не пов’язане з чисто аналітичними міркуваннями, а обумовлене тим, що з практичної точки зору знання найбільш ймовірного виходу забезпечує потребу в інформації для прийняття рішень.

При використанні критерію найбільш ймовірного виходу для прийняття рішень в умовах ризику необхідно пам’ятати про те, що як й інші розглянуті критерії, він не є універсальним.

Для того, щоб це зрозуміти, достатньо уявити елементарні ситуації.

1) - дискретна випадкова величина, яка приймає значення Х_k, загальна кількість n яких дуже велика, причому , ;

2) найбільшу ймовірність реалізації мають декілька можливих значень дискретної випадкової величини.

В обох випадках критерій найбільш ймовірного виходу є непридатним для прийняття обґрунтованого рішення.