Теоретическая механика

1. Центр диска С движется в вертикальной плоскости в соответствии с уравнениями

x_C = 10t, y_C = 40 – 4,9t².

Диск вращается вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной плоскости диска, с постоянной скоростью ₀ =  с^–1, угол отсчитывается от вертикального нижнего радиуса диска против часовой стрелки.

Найти полное ускорение точки А диска, которая в момент времени t = 0 была в нижней точке диска, в моменты времени t = 0 и t = 0,5 c. Радиус диска R = 0,3 м.

Решение.

Полное ускорение точки, находящейся на диске и движущейся по окружности с постоянной скоростью складывается из ускорения точки С и центробежного ускорения точки А, т. е.

a_A=a_C+a_AC

Для нахождения модуля полного ускорения, разложим его по осям x и y.

a_A²= a_Ax²+a_Ay²

a_Ax=a_Cx+a_ACx

a_Ay=a_Cy+a_ACy

a_Cx=(10t)''=0

a_Cy=(40-4,9t²)''= - 9,8м/c²

Координаты точки A(x,y), если принять за начало отсчета точку С

а) при t=0.

x=R·sin(t)

y=-R·cos(t)

для нахождения ускорения возьмем вторые производные от x и y.

a_ACx=-₀²·R·sin(t)=0

a_ACy=₀²·R·cos(t)=0,09·^

a_A=a_C+a_AC =-9,8+0,09·2=-8,91м/с²

б) при t=0,5

x=R·sin(t)

y=R·cos(t)

для нахождения ускорения возьмем вторые производные от x и y.

a_ACx=-₀²·R·sin(t)=-0,09·^·sin()=-0,09·^

a_ACy=-₀²·R·cos(t)=-0,09·^·cos()=0

a_Ax=a_Cx+a_ACx=0-0,09·^

a_Ay=a_Cy+a_ACy =-9,8+0

a_A²= a_Ax²+a_Ay²= (-9,8)²+(-0,09·^)²=96,04+0,79=96,83

a_A =9,84м/с²

Ответ:

-8,91м/с²

9,84м/с²

2. Цилиндр весом 8 кг, радиусом R = 10 см и высотой h = 15 см падает, испытывая сопротивление воздуха по закону F = k·S·v², где S — площадь проекции падающего тела на плоскость, перпендикулярную вектору скорости.

Найти максимальную скорость падения для случаев:

1) вектор скорости совпадает с осью цилиндра, и k = 0,35 Н·с2/м4;

2) вектор скорости перпендикулярен оси цилиндра, и k = 0,28 Н·с2/м4.

Решение:

Согласно второму закону Ньютона

F = m·a

Падая, цилиндр испытывает сопротивление воздуха F_v= k·S·V², следовательно

F=P-Fv, где P= m·g т.е.

m·a=m·g- k·S·V²

a=g- k·S·V²/m

Так как ускорение это производная скорости, то при максимальном значении скорости, оно должно быть равно нулю (т.к. в точке экстремума функции ее производная равна нулю.)

g- k·S·V²/m=0

V= √(g·m/ k·S)

1) Вектор скорости совпадает с осью цилиндра, и k = 0,35 Н·с²/м⁴;

В этом случае S=π ·R²

v= √ (g·m/ k· π ·R2)= √ (9,8·8/ 0,35·3,14·0,01)=84,46 м/с

2. вектор скорости перпендикулярен оси цилиндра, и k = 0,28 Н·с²/м⁴

В этом случае S=H·R

v=√ (g·m/ k·R·H)= √ (9,8·8/ 0,28·0,1·0,15)=136,63 м/c

Ответ: 84,46 м/с

136,63 м/c

3. Нить выдерживает нагрузку F (Н). С каким минимальным ускорением нужно дернуть за нитку груз массой m, лежащий на горизонтальной шероховатой поверхности, так что коэффициент трения скольжения равен k, в горизонтальном направлении, чтобы нить оборвалась? Найти ответ при F = 30 Н,  m = 4 кг,  k = 0,04.

Решение:

F-Fтр=m·a

Fтр=k·m·g

F-k·m·g=m·a

F-k·m·g=m·a

a=(F-k·m·g)/m=30-0,04·4·9,8=28,4 м/с²

Ответ: 28,4 м/с²

3. По наклонной плоскости под углом  к горизонту спускается тело без начальной скорости, коэффициент трения равен k. Определить, за какое время будет пройден путь длиной S вдоль наклонной плоскости, если  = 45^°, k = 0,3, S = 20 м.

Решение:

Составляющая силы тяжести вдоль наклонной

m·g·cos(45^°)

Сила реакции опоры

Fнорм=m·g·sin(45^°)

Сила трения:

Fтр=k·Fнорм=k·m·g·sin(45^°)

Резльтирующая сила:

F=m·g·cos(45^°)-k·m·g·sin(45^°)=m·g·√2/2-k·m·g·√2/2= m·g·√2/2·(1-k)

т.к F=m·a

m·g·√2/2·(1-k)=m·a

a=g·√2/2·(1-k)

так как начальная скорость равна 0, то

S=a·t²/2=g·√2/2·(1-k)·t²/2

2S/g·√2/2·(1-k)=t²

t=√ (2S/(g·√2/2·(1-k))= √ (2·20/9,8·0,7·0,7)=2,88 с

Ответ : 2,88с

5. Тяжелое тело спускается по гладкой плоскости, угол которой с горизонтом составляет . Начальная скорость тела v₀. За какое время тело пройдет путь S = 27,6 м, если  = /3, v₀ = 1 м/с?

Составляющая силы тяжести вдоль наклонной

F=m·g·cos(90^°-)

Силу трения не учитываем, так как поверхность гладкая, тогда

ma=m·g·cos(60^°)

a=g·cos(30)=9,8·0,5=4,9

S= v₀·t+a·t²/2

t+2,45·t₂-27,6=0

2,45·t²+t-27,6=0

Решая квадратное уравнение получаем два корня

t₁=3,43

t₂=-3,93

отрицательным время быть не может, значит t=3,43 с

Ответ: t=3,43c

6. Математический маятник вывели из состояния равновесия, толкнув его горизонтально со скоростью v. Найти длину дуги, которую опишет маятник до остановки, если длина маятника b. Найти решение при b = 1,5 м, v = 1 м/с.

Решение:

Колебания метематического маятника описываются дифференциальным уравнением

x''+w₀²·x=0

где w0= √ (g/b)

g - ускорение свободного падения, b-длина маятника

решением этого дифференциального уравнения будет являться гармоническая функция

x=x_m·cos(w₀·t+φ₀)

где х_m- амплитуда колебаний, это и есть длина дуги которую опишет маятник до остановки.

Начальные условия при t=0

x'=v=1

x=0

тогда

v=x'=-w₀·x_m·sin(φ₀)

x_m·cos(φ₀)=0

cos(φ₀)=0

φ₀=±π/2

пусть φ₀=-π/2, тогда

-w₀·x_m·sin(-π/2)=v

x_m=v/w₀=v·√ (b/g)=0,391c

Ответ: 0,391 с