15

Министерство образования Российской Федерации

Томский государственный университет

Систем управления и радиоэлектроники

Реферат

Дифференциальные уравнения движения механической системы

Проверил

Выполнил студент гр.

Содержание

Содержание 2

1. Введение 3

2. Основные динамические величины системы 4

2.1. Количество движения системы 4

2.2. Главный момент количеств движения (кинетический момент) системы 4

2.3. Кинетическая энергия системы 4

3. Общие замечания о теоремах и законах динамики 5

3.1. Теорема об изменении количества движения 6

3.2. Теорема об изменении кинетического момента 7

3.3. Теорема об изменении кинетической энергии 10

4. Дифференциальные уравнения движения системы 13

5. Список литературы 15

1. Введение

Дисциплина, в рамках которой, я подготовил данную работу, называется "Теоретическая механика". Поэтому начну с определения термина механика. Впервые термин механика человечество "услышало" от Аристотеля. Тогда он подразумевал под этим словом некое сооружение, машину. С тех пор прошло около 2400 лет, и теперь можно выстроить чёткую иерархию математических наук, как, например, это сделал П. Аппель (1855-1930): "Среди математических наук первой является наука о вычислениях, которая основывается на единственном понятии о числе и к которой стремятся свести все остальные науки. Затем следует геометрия, которая вводит новое понятие — понятие о пространстве. В геометрии рассматриваются точки, описывающие линии, линии, описывающие поверхности, и т, д,, но в ней никоим образом не касаются времени, в течение которого осуществляются эти движения. Если ввести понятие времени, то получится более сложная наука, называемая кинематикой, которая изучает геометрические свойства движений в их соотношениях во времени, но в которой не касаются физических причин движения. Этим последним вопросом занимается механика. Необходимо, однако, заметить, что механика не раскрывает действительных причин физических явлений и довольствуется заменой их некоторыми абстрактными причинами, называемыми силами и способными вызвать тот же механический эффект" [1].

То есть механика – "наука, охватывающая математические методы описания механических движений" [2]. И тут мы вплотную подходим к теме моей работы: "Дифференциальные уравнения движения механической системы".

2. Основные динамические величины системы

   1. Количество движения системы

Количеством движения механической системы называется вектор:

то есть количество движения системы равно массе системы, умноженной на скорость ее центра масс.

2. Главный момент количеств движения (кинетический момент) системы

Главным моментом количеств движения (кинетическим моментом) системы относительно центра А называется величина:

,

где – радиус-вектор точки системы относительно её центра ()

Главным моментом количеств движения (кинетическим моментом) системы относительно оси называется проекция на эту ось главного момента количеств движения системы относительно любого выбранного на данной оси центра.

При изменении центра кинетический момент изменяется.

3. Кинетическая энергия системы

Кинетической энергией системы называется величина Т. определяемая по формуле:

При вычислении кинетической энергии очень часто используется следующее утверждение.

Теорема Кёнига. Кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии, которую имела бы материальная точка, расположенная в центре масс, системы и имеющая массу, равную массе системы, и кинетической энергии движения системы относительно центра масс.

3. Общие замечания о теоремах и законах динамики

Рассмотрим движение системы материальных точек () в некоторой инерциальной системе координат. Пусть– масса точки, а– радиус-вектор относительно начала координат. Если система несвободна, то ее можно рассматривать как свободную, если помимо активных сил, приложенных к точкам системы, учесть реакции связей. Если затем все силы, приложенные к системе, разбить на внешние и внутренние, то из аксиом Ньютона получим дифференциальные уравнения движения рассматриваемой механической системы в виде:

()

(1)

где – ускорение точкив инерциальной системе отсчета, аи– соответственно равнодействующие всех внешних и внутренних сил системы, приложенных к точке

Для исследования движения надо при заданных начальных условиях проинтегрировать систему уравнений (1) и найти зависимость от времени. Это в большинстве случаев невозможно, особенно если число уравнений (1) велико.

Однако при практическом исследовании движения очень часто нет необходимости изучать систему (1), а достаточно знать изменение со временем некоторых величин, общих для всей материальной системы и являющихся функциями координат и скоростей точек системы (и, быть может, времени). Если такая функция при движении системы остается постоянной, то она называется первым интегралом уравнений движения(1). Использование первых интегралов позволяет упростить задачу исследования движения системы, а иногда и решить ее до конца.

Самый распространенный прием получения первых интегралов уравнений (1) основан на изучении поведения основных динамических величин системы: количества движения, кинетического момента, кинетической энергии. Изменение этих величин во времени описывается основными теоремами динамики, являющимися непосредственными следствиями уравнений (1). Утверждения, описывающие условия, при которых некоторые из основных динамических величин остаются постоянными, называются законами сохранения.