ЦСАУ (ЦСАУКР-3Вар-12)

Томский межвузовский центр дистанционного образования

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Кафедра компьютерных систем в управлении и проектировании (КСУП)

Контрольная работа № 3

по дисциплине «Цифровые системы автоматического управления »

(Учебное пособие «Цифровые системы автоматического управления»,

автор А.Г. Карпов, 2004 г. )

Выполнил:

студент ТМЦДО

гр.: з-517-а

специальности 220201

Пономарев Сергей Сергеевич

18 апреля 2009 г.

г. Омск

2009 г

Контрольная работа № 3

1. Задана импульсная передаточная функция разомкнутой системы W(z). Определить устойчивость замкнутой системы (с единичной отрицательной обратной связью), используя необходимое и достаточное условие устойчивости (по расположению корней характеристического уравнения)

№ варианта	W(z)
12

Решение:

Устойчивой будет та и только та система, для которой корни характеристического уравнения знаменателя передаточной функции которой лежат внутри окружности единичного радиуса.

По заданной передаточной функции W(z) разомкнутой системы с единичной отрицательной обратной связью определяем передаточную функцию замкнутой системы

Характеристический полином системы (знаменатель передаточной функции) имеет вид D(z)=(2z²+3z-0,5)², характеристическое уравнение - 2z²+3z-0,5=0.

Находим корни характеристического уравнения

Так как не все корни характеристического уравнения лежат внутри единичного круга, замкнутая система неустойчива.

2. По заданному характеристическому уравнению

z³ + az² + bz + c=0

определить устойчивость системы, воспользовавшись алгебраическим критерием устойчивости.

№ варианта	а	b	с
12	-2	-2	-1

Решение:

Применять алгебраические критерии непосредственно к характеристическому уравнению нельзя, поскольку эти критерии устанавливают условия нахождения корней полинома в левой полуплоскости. Однако, если воспользоваться преобразованием, отображающим круг единичного радиуса в левую полуплоскость, то все алгебраические критерии применимы в неизменном виде. Таким преобразованием является билинейное преобразование:

Сделав в уравнении замену переменной z=(1+w)/(1-w), получим:

Видим, что выполняется критерий устойчивости - все коэффициенты при переменной w имеют один знак. Следовательно, рассматриваемая система устойчива.

3. С помощью критерия Михайлова определить критический коэффициент усиления К, при котором замкнутая система (см. рис. 1) будет находиться на границе устойчивости.

№ варианта	12
А	4
В	3

Указание. Критерий Михайлова требует построения годографа D(z) характеристического полинома замкнутой системы при изменении переменной z по окружности единичного радиуса (обычно по верхней половине окружности) либо после подстановки z = e^j при изменении  от 0 до . Условие нахождения системы на границе устойчивости – прохождение кривой Михайлова, т.е. вектора D(e^j), через начало координат. Последнее условие означает, что D(e^j)=0. Из этого уравнения и определяется критический коэффициент усиления.

Решение:

Найдем сначала передаточную функцию W(z) разомкнутой системы.

Z-передаточную функцию вычислим, как обычно, разложив выражение под знаком z-преобразования на простые дроби:

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

Характеристический полином системы – это знаменатель последнего выражения: .

Для определения границ устойчивости воспользуемся условием D(e^j)=0. Получим: 

Анализируя приведенные условия, получаем следующее выражение для определения границы устойчивости:

.