3. Теорема об изменении кинетической энергии

Пусть точки системы переместились так, что их радиусы-векторыв инерциальной системе отсчета получили приращении. Найдем, как при этом изменилась кинетическая энергия системы. Так как:

то для дифференциала кинетической энергии имеем такое выражение:

Принимая во внимание дифференциальные уравнения (1), перепишем последнее равенство в виде:

Таким образом:

(14)

Последнее равенство выражает теорему об изменении кинетической энергии системы: дифференциал кинетической энергии системы равен элементарной работе всех сил системы.

Подчеркнем, что в отличие от двух рассмотренных выше основных теорем динамики, в теореме об изменении кинетической энергии речь идет о всех силах системы: как внешних, так и внутренних. Тот факт, что силы, с которыми взаимодействуют две точки системы, равны по величине и противоположно направлены, не приводит к равенству нулю работы внутренних сил системы, так как при подсчете работы важны и перемещения точек, а они у двух взаимодействующих точек не обязательно одинаковы. Для твердого тела работа внутренних сил равна нулю, поэтому для него равенство (14) принимает более простой вид

(15)

Проинтегрировав обе части равенства (14) от до, получим интегральную форму теоремы об изменении кинетической энергии

(16)

т. е. приращение кинетической энергии системы за конечное время равно работе всех сил системы, за то же время.

Пусть все силы системы (внешние и внутренние) потенциальны и их потенциал не зависит явно от времени. В этом случае элементарная работа сил системы будет полным дифференциалом

(17)

Из (17) и (14) следует, что тогда .

Сумма кинетической и потенциальной энергий называется полной механической энергией системы. Из последнего равенства следует, что

(18)

т. е. если все силы системы, потенциальны и потенциал не зависит от времени, то при движении, системы ее полная механическая энергия постоянна. Это – закон сохранения механической энергии. Равенство (18) называется интегралом энергии.

Следует иметь в виду, что для справедливости закона сохранения механической энергии требование о том, чтобы все силы системы были потенциальными, не обязательно. Достаточно потребовать, чтобы потенциальными были силы, работа которых на действительном перемещении системы отлична от нуля. Например, работа реакций стационарных идеальных связей равна нулю, и если остальные силы системы потенциальны и потенциал не зависит явно от времени, то для такой системы справедлив закон сохранения механической энергии.

4. Дифференциальные уравнения движения системы

Рассмотрим пример интегрирования системы для простейшего случая, когда .

Пусть груз массой на пружине с жесткостьюсовершает колебания в вертикальном направлении под действием вынуждающей силы, проекция которой на ось:

Определить, при каких условиях эти колебания можно погасить за счет крепления к первому грузу второго с массой через пружину с жесткостью.

Учитываем силы, действующие на обе массы за счет удлинения пружин, отсчитываемого от положения статического равновесия каждого груза.

Тогда первый груз движется под действием силы упругости пружины с коэффициентом жесткости , пружины с коэффициентом жесткости, расположенной между телами, и вынуждающей силы. Дифференциальное уравнение движения первого груза в проекции на осьимеет вид:

Второй груз движется только под действием пружины с коэффициентом жесткости , и дифференциальное уравнение движения его будет иметь вид:

Решать эту систему уравнений нужно совместно. При этом нас интересует случай гашения колебаний первого груза, т. е. условия, когда . При выполнении этого условия уравнения движения принимают вид:

Из первого уравнения выражаем , дважды дифференцируем и подставляем во второе. После сокращения получим:

Это и есть условие гашения колебаний – его можно выполнить, подбирая либо массу, либо жесткость пружины, либо то и другое. При этом слишком малое значение массы (из требования минимума дополнительного веса) может привести к малому, а это даст очень большую амплитуду колебаний дополнительной массы.

Решение такого рода задач при количестве масс , как отмечено выше, возможно только в некоторых исключительных случаях. Поэтому далее рассматриваем движения системы как некоторого целого образования, так что определим закон движения центра масс системы.

Возьмем за основу систему уравнений (1) и почленно сложим ее левые и правые части – получим уравнение (2).

Формула радиуса-вектора центра масс имеет вид:

Беря вторую производную от обеих частей этого равенства, получим в уравнении (2):

Запишем теорему о движении центра масс системы:

Проектируя это уравнение на оси системы координат, получим:

,,