Лабораторная работа №7. Морфологическая обработка изображений

Словом морфология принято называть область биологии, которая изучает форму и строение животных и растений. Мы будем использовать этот термин в контексте математической морфологии, которая является инструментом для извлечения определенных компонентов изображения, полезных для представления и описания форм объектов, например, их границ, остовов или выпуклых оболочек. Мы будем так же рассматривать морфологические методы, которые применяются на этапах предварительной и заключительной обработки изображений, например, морфологическая фильтрация, утончение и усечение.

Базовые понятия теории множеств

Пусть Z обозначает множество целых чисел. Процесс дискретизации при формировании цифровых изображений можно представить себе в виде разделения плоскости xy координатной сеткой на ячейки, а координаты центров этих ячеек являются парами декартова произведения Z² (Декартовым произведением множества Z на себя называется множество всех упорядоченных пар (z_i, z_j), где z_i, z_j – любые целые числа. Его принято обозначить Z²). Пользуясь терминологией теории множеств, мы скажем, что функция f (x, y) называется цифровым изображением, если (x, y) – это целые числа из Z² , а f – отображение, которое сопоставляет значение яркости (которое принадлежит множеству вещественных чисел R) каждой паре координат (x, y). Если значения яркости из R являются целыми числами (как это обычно предполагается в нашей книге), то цифровое изображение становится двумерной функцией, координатами и амплитудами (т.е. значениями яркости), которой служат целые числа.

Пусть A – некоторое множество из Z², элементами которого являются координаты пикселов (x, y). Если элемент w= (x, y) принадлежит A, то это принято обозначать символической записью

w A.

В противном случае, если w не принадлежит A, то принято писать

w A.

Множество пикселов B, удовлетворяющее некоторому условию, представляется в виде

B = { w | условие}.

Например, множество всех пикселов, не принадлежащих множеству A, которое принято обозначать A^c, задается формулой

A^c = {w | w A}.

Это множество называется дополнением множества A.

Объединение двух множеств A и B, которое обозначается

C = A B,

есть по определению множество всех пикселов, которые принадлежат или множеству A, или множеству B, или одновременно обоим множествам. Аналогично, пересечение двух множеств A и B состоит из всех элементов, которые одновременно принадлежат и множеству A, и множеству B, и обозначается

C = A∩B.

Разность двух множеств A и B обозначается А\В. Оно состоит из пикселов, которые принадлежат A, но не принадлежат B, т.е.

A \ B = {w | w A, w B}.

Рисунок 1 иллюстрирует введение выше операции над множествами, где результат каждой операции обозначен темным цветом.

Риунок 1 – а) Два множества а и в. Б) Объединение множеств а и в. В) Пересечение множеств а и в. Г) Дополнение множества а. Д) Разность множеств а и в.

Вместе с введенными базовыми понятиями нам понадобятся еще две операции, широко используемые при морфологическом анализе изображений и применяемые ко множествам, элементами которых служат координаты пикселов. Центральным отражением множества В называется множество B^, определяемое по формуле

B^ = {w | w = - b, b B}.

Параллельный перенос (или сдвиг) множества А в точку z = (z_1, z₂) обозначается (А)_z и задается формулой

(А)_z = { c | c = а + z, а А}.

Рисунок 2 иллюстрирует эти две операции применительно к множествам из рисунка 1. Жирные точки обозначают начало координат для каждого множества.

Рисунок 2 – а) Сдвиг множества А в точку z. б) Центральное отражение множества В. (Использованы множества А и В из рисунка 1)