ВІННИЦЬКИЙ ОБЛАСНИЙ ІНСТИТУТ ПІСЛЯДИПЛОМНОЇ ОСВІТИ
ПЕДАГОГІЧНИХ ПРАЦІВНИКІВ
Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2010-2011 н. р.
Завдання
11 Клас
1.
Нехай
.
Розв’язати рівняння
.
2.
Нехай
.
Доведіть нерівність
.
Знайдіть усі
,
при яких досягається знак рівності.
3.
Розв’яжіть рівняння в натуральних
числах
.
4.
Із точки
,
яка лежить всередині правильного
трикутника
,
опущені перпендикуляри
,
і
на сторони
,
і
відповідно. Доведіть, що
а)
;
б)
.
5. Усі бічні грані чотирикутної піраміди – прямокутні трикутники з вершинами прямих кутів на основі піраміди. Чи може основа висоти такої піраміди бути внутрішньою точкою її основи?
10 Клас
1.
Нехай
– сума всіх цифр десяткового запису
натурального числа
.
Доведіть, що
.
2.
Про дійсні додатні числа
,
,
відомо, що
.
Доведіть, що
.
3.
До підвищення цін чай із двома тістечками
коштували
.
Коли всі ціни виросли (на однакове число
відсотків), однієї гривні вистачило на
чай і одне тістечко. Потім ціни знову
виросли, причому на стільки ж відсотків,
як і в перший раз. Чи вистачить однієї
гривні хоча б на чай?
Відповідь обґрунтувати.
4
.
Чотирикутник
вписаний в коло. Відомо, що
і
.
Доведіть, що
.
5.
Паперова стрічка розміром
розбита на одиничні квадрати. В ці
квадрати записують числа
,
,
,
…,
в такий спосіб: спочатку в який-небудь
квадрат записують
,
потім в один із сусідніх квадратів
записують
,
потім в один із сусідніх із вже зайнятими
квадратами записують число
,
і т.д. Скількома способами це можна
зробити?
Відповідь обґрунтуйте.
10 Клас
10.1.
Оскільки
,
то
.
Отже, в десятковому записі числа
не більше, ніж
цифр. Тому,
.
10.2.
Скористаємося нерівністю між середнім
арифметичним і середнім геометричним
трьох додатних чисел:
.
Звідси
слідує, що
.
Аналогічно,
і
.
Додавши ці три нерівності, одержимо:
.
Враховуючи, що , то із останньої нерівності одержуємо:
,
що і треба було довести.
10.3. Відповідь. Так, вистачить.
Нехай на початку
вартість чаю становила
,
а вартість тістечка
.
Тоді за умовою задачі
,
де
і
.
Після першого підвищення цін вартість
чаю становила
,
а вартість тістечка
,
де
,
а
– відсоток, на який піднялися ціни. За
умовою задачі виконується нерівність:
,
тобто
.
Після другого підвищення цін вартість
чаю становила
.
Доведемо, що
.
Дійсно, з першої
умови знаходимо:
.
Підставивши це значення в другу умову,
знаходимо:
.
Тому
,
що і треба було довести.
Тут ми скористалися нерівністю між середнім арифметичним і середнім геометричним двох додатних чисел.
10.4.
Рівні кути
і
в сумі дорівнюють половині кутової міри
дуги
.
На частину кола, яка залишилася – дугу
– спирається вписаний кут
.
Тому сума цих трьох кутів дорівнює
,
тобто
.
Д
алі,
,
бо кут
є частиною кута
.
Оскільки
,
то
.
Звідки , що і треба було довести.
10.5.
Відповідь.
.
Помічаємо, що
кількість способів розмістити задані
числа вказаним способом не зміниться,
якщо числа розміщати з кінця. Число
могло опинитися лише в одному із двох
одиничних квадратів, розташованих в
кінці стрічки – два можливих варіанти.
Відрізаємо його, тоді залишиться стрічка
.
Далі, число
могло опинитися лише в одному із двох
одиничних квадратів, розташованих в
кінці цієї нової стрічки – ще два
можливих варіанти. Відрізаємо його,
тоді залишиться стрічка
.
Далі продовжуємо діяти аналогічно:
кожний раз для того щоб розмістити
чергове число у нас буде два можливих
варіанти доти, поки мине дійдемо до
одиничного квадрата, в якому залишається
лише одне вільне місце. Тому, за правилом
добутку, у нас є всього
можливих способи відновити стрічку з
кінця.
Зауваження. Можливі й інші способи розв’язання цієї задачі. Наприклад, з використанням комбінаторних формул відповідь може бути й такою:
.
Але така відповідь важитиметься не повною