V. Схема проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных св при неизвестных дисперсиях

;

.

При этих условиях в качестве критерия проверки принимают СВ :

где - объемы выборок и соответственно ,

; .

1. При с помощью таблицы критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы определяются критические точки и ( = ) двусторонней критической области.

Если - нет оснований для отклонения Н₀.

Если - Н₀ отклоняется в пользу Н₁⁽¹⁾_.

2. При находят критическую точку правосторонней критической области.

Если - нет оснований для отклонения Н₀.

Если - Н₀ отклоняется в пользу Н₁⁽²⁾_.

3. При находят критическую точку левосторонней критической области .

Если - нет оснований для отклонения Н₀.

Если - Н₀ отклоняется в пользу Н₁⁽³⁾_.

VI. Схема проверки гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных св

При сравнении двух экономических показателей иногда, в первую очередь, проводят анализ разброса значений рассматриваемых СВ. Например, при решении инвестирования в одну из отраслей остро стоит проблема риска вложений. При сравнивании уровня жизни двух стран среднедушевые доходы могут быть примерно одинаковы. Необходимо сопоставить разброс в доходах.

Анализ проводится путем сравнения дисперсий исследуемых СВ.

Пусть и , причем их дисперсии и неизвестны. Выдвигается гипотеза о равенстве дисперсий и .

.

По независимым выборкам и объемов и соответственно определяется:

и (для определенности пусть , в противном случае эти величины можно переобозначить).

В качестве критерия проверки принимают СВ ,

определяемую отношением большей исправленной выборочной дисперсии к меньшей. Если верна, то данная статистика имеет - распределение Фишера с и степенями свободы.

1. При по таблицам критических точек распределения Фишера по уровню значимости и числам степеней свободы и определяется критическая точка .

Если - нет оснований для отклонения .

Если - отклоняется в пользу .

2. При определяется критическая точка .

Если - нет оснований для отклонения .

Если - отклоняется в пользу .

В основном, при проверке гипотезы о равенстве дисперсий в качестве альтернативной гипотезы в большинстве случаев используется гипотеза .

VII. Схема проверки гипотезы о значимости коэффициента корреляции

.

Для проверки по выборке объема строится статистика:

где - выборочный коэффициент корреляции.

При справедливости статистика имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

По таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости и числу степеней свободы определяем критическую точку .

Если - то нет оснований для отклонения .

Если - то отклоняется в пользу альтернативной гипотезы .

Если отклоняется, то фактически это означает, что коэффициент корреляции статистически значим (существенно отличен от нуля). Следовательно, и - коррелированны, т.е. между ними существует линейная связь.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Как связаны между собой случайные величины, имеющие стандартизованное нормальное распределение, распределение Стьюдента, ² и Фишера?

2. В чем заключаются несмещенность, эффективность и состоятельность статистических оценок?

3. Что такое точечная и интервальная оценка?

4. Что такое нулевая и альтернативная гипотезы?

5. Что такое статистический критерий, уровень значимости?

6. Какая случайная величина применяется в качестве критерия проверки гипотезы о величине дисперсии нормальной случайной величины?

7. Какая случайная величина применяется в качестве критерия проверки гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных случайных величин?

8. К проверке каких гипотез сводятся исследования среднего дохода населения и анализ разброса в уровне дохода?

Задача 1. В университете проведен анализ успеваемости среди студентов и студенток за последние 25 лет. Случайные величины , представляющие их суммарный балл за время учебы соответственно, имеют нормальный закон распределения. Получены следующие данные: 400, 420, S_x²=300, S_y²=150.

Задание: проверить, можно ли на уровне значимости 0,05 утверждать, что девушки в среднем учатся лучше ребят.

Задача 2. Точность работы станка-автомата, заполняющего пакеты со стиральным порошком, определяется совпадением веса пакетов. Дисперсия веса не должна превышать 25. По выборке из 20 пакетов определена исправленная дисперсия S²=30.

Задание: определить на уровне значимости 0,05 требуется ли переналадка станка.

Задача 3. По двум независимым выборкам, объемы которых 9 и 6, найдены выборочные дисперсии S_x²=14,4 и S_y²=20,5 годовых дивидендов от вложений в отрасли А и В соответственно.

Задание: проверить при уровне значимости 0,05 гипотезу о равенстве рисков при вложении денег в обе отрасли.

Лекция 3