Вопросы для изучения:

1. Понятие временного ряда и его основные компоненты.

2. Построение аддитивной модели.

3. Построение мультипликативной модели.

Понятие временного ряда и его основные компоненты. Временной ряд - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов (периодов) времени (y_t).Модели, построенные по временным рядам, называются моделями временных рядов. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма его компонент, называется аддитивной моделью временного ряда: .Модель, в которой временной ряд представлен как произведение его компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда: .

Основная задача эконометрического исследования временного ряда – выявление и количественное измерение тенденции, циклической и случайной компонент, с тем, чтобы использовать информацию для получения прогнозных оценок или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

Коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка:

Коэффициент автокорреляции уровней ряда второго порядка:

Рис. 15.1. Выводы о структуре временного ряда

Приемы выявления типа тенденции: графически; по абсолютным приростам и темпам роста сглаженных уровней; метод последовательных разностей; сравнительная оценка остаточной суммы квадратов и характеристик качества регрессии.

Построение аддитивной модели.

1 шаг. Выравнивание уровней ряда. Просуммируем уровни ряда за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени. Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние. Найдем центрированные скользящие средние как средние значения из двух последовательных скользящих средних.

2 шаг. Расчет сезонной компоненты S. Найдем разность между уровнями и центрированными скользящими средними. Расчет средней оценки сезонной компоненты для каждого квартала за все годы. Расчет скорректированной сезонной компоненты.Моделирование сезонных колебаний:Аддитивная модель: .

Оценка сезонной компоненты за каждый квартал: . Средняя оценка сезонной компоненты для квартала за все годы: . Скорректированная сезонная компонента:

3 шаг. Устранение сезонной компоненты S.Вычтем скорректированное значение сезонной компоненты из каждого уровня исходного временного ряда. Получим: T+E=Y-S.

4 шаг. Расчет значений тренда. Проведем аналитическое выравнивание ряда (T+E) с помощью линейного тренда. Рассчитаем значения T для каждого момента времени по уравнению тренда.

5 шаг. Расчет значений T+S. Прибавим к уровням T значения сезонной компоненты (S) для соответствующих кварталов.

6 шаг. Расчет абсолютной ошибки. Выполним расчет ошибки для каждого уровня ряда по формуле: E=Y-(T+S). Расчет суммы квадратов абсолютных ошибок и ее сравнение с общей суммой квадратов отклонений уровней ряда.

Построение мультипликативной модели.

1 шаг. Выравнивание уровней ряда. Просуммируем уровни ряда за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени. Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние. Найдем центрированные скользящие средние как средние значения из двух последовательных скользящих средних.

2 шаг. Расчет сезонной компоненты S. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления уровней на центрированные скользящие средние. Расчет средней оценки сезонной компоненты для каждого квартала за все годы. Расчет скорректированной сезонной компоненты. Моделирование сезонных колебаний:Мультипликативная модель: .

Оценка сезонной компоненты за каждый квартал: . Средняя оценка сезонной компоненты для квартала за все годы: . Скорректированная сезонная компонента: ; .

3 шаг. Устранение сезонной компоненты S. Разделим каждый уровень исходного временного ряда на скорректированное значение сезонной компоненты. Получим: T*E=Y/S.

4 шаг. Расчет значений тренда. Проведем аналитическое выравнивание ряда (T*E) с помощью линейного тренда. Рассчитаем значения T для каждого момента времени по уравнению тренда.

5 шаг. Расчет значений T+S. Умножим уровни T на значения сезонной компоненты (S) для соответствующих кварталов.

6 шаг. Расчет абсолютной ошибки. Выполним расчет ошибки для каждого уровня ряда по формуле: E=Y/(T*S). Расчет суммы квадратов абсолютных ошибок и ее сравнение с общей суммой квадратов отклонений уровней ряда.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. В чем особенность временного ряда?

2. Каковы основные компоненты уровней временного ряда?

3. В чем состоит основная задача эконометрического исследования временного ряда?

4. Как определяется автокорреляция остатков во временных рядах?

5. Какие свойства имеет коэффициент автокорреляции?

6. Как определяется автокорреляционная функция?

7. Что такое коррелограмма? Что выявляют при помощи анализа коррелограммы?

8. Как сформулировать вывод о структуре временного ряда?

9. Какие методы применяются для выявления основной тенденции ряда?

10. В чем суть сглаживания временных рядов?

Задача 1. Имеются следующие данные об урожайности пшеницы за 12 лет:

	16,3	20,2	17,1	9,7	15,3	16,3	19,9	14,4	18,7	20,7	19,5	21,1
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

Задание:

1. определить среднее значение, среднее квадратическое отклонение и коэффициенты автокорреляции (для лагов 1,2) временного ряда;

2. провести сглаживание исходного временного ряда методом скользящих средних, используя среднюю арифметическую с интервалом сглаживания:

а) 3;

б) 4;

3. записать уравнение тренда ряда, полагая, что он линейный, и проверить его значимость на уровне 0,05.

Задача 2. Данные, отражающие динамику роста доходов на душу населения за восемь лет, приведены в таблице:

Год,	1	2	3	4	5	6	7	8
	1130	1220	1350	1390	1340	1380	1490	1680

Задание: определить точечный прогноз дохода населения по линейному тренду на 9 год.

Лекция 18