Дифференциальное исчисление функций Дифференцирование функций задание 2

В задачах 2.1–2.20 найти производную функции.

Данные к заданию 2 представлены в Приложении 2.

Справочный материал к заданию

Если для функции y = f(x) в точке х₀ существует предел отношения приращения функции  f(x₀) к приращению аргумента  x при условии  x  0, то этот предел называют производной функции y = f(x) в точке x₀ и обозначают f (x₀) или y (x₀) , т.е.

Где _. Существуют и другие обозначения производной. Например . Нахождение производной называют дифференцированием.

Пусть U(x) и V(x) — дифференцируемые функции, C — const, тогда правила нахождения производных имеют вид:

1. (U  V) = U 

2. (U · V) = U · V + U · V ;

3. (CU) = CU;

4. ;

5. [U(V(x))] = ;

6. (U^V) = V· U^V-1 · U + U^V · ln U · V .

Если y = f(x) имеет производную f (x)  0, то обратная функция x = f^--1(y) в соответствующей точке имеет производную, причем .

Если функция задана параметрически, т.е.

где t — параметр и х(t)  0, то .

Правила дифференцирования основных элементарных функций приведены в следующей таблице:

y = c, c = const	y = 0	y = tgx	y =
y = x,  R	y =  · x-1	y = ctgx	y =
y =	y =	y = arcsinx	y =
y =	y = -	y = arccosx	y = -
y =	y =	y = arctgx	y =
y = ex	y = ex	y = arcctgx	y = -
y = ax	y = ax  lna
y = lnx	y =
y = logax	y =
y = sinx	y = cosx
y = cosx	y = -sinx

Рекомендации к выполнению задания

1. Прежде, чем приступить к нахождению производной, следует при необходимости привести функцию к виду, позволяющему упростить процедуру вычисления производной.

2. Особое внимание следует уделить правилу 5 дифференцирования сложной функции. В частности, любую формулу из таблицы производных можно переписать, заменив аргумент х на функцию U(x).

Например, или (U^) =  · U ^‑–1 · U .

Если же y = U(V( (x))), то .

3. Правила 1 и 2 применимы для любого конечного числа функций.

Например, (U  V  ) = U   V    ;

(U · V · ) = U  · V · + U · V  · + U · V· .

4. Правило 6 можно не использовать, упрощая дифференцирование показательно-степенной функции предварительным логарифмированием. Логарифмирование функции используется также в случае, когда после него дифференцирование упрощается.

5. При дифференцировании неявной функции, заданной уравнением F(x, y) = 0, пользуются известными правилами и формулами с учетом того, что y есть функция от х, т.е. сложная функция. После чего уравнение разрешают относительно искомой производной.

Если же неявную функцию можно легко разрешить относительно х или у, то следует выполнить эту операцию и дифференцировать полученную функцию с помощью известных правил.