Пример решения задачи

Исследовать ряды на сходимость:

1) К ряду применим радикальный признак Коши, так как его общий член содержит степенно-показательную функцию в числителе и показательную функцию в знаменателе:

ряд сходится.

2) К положительному ряду применим признак Даламбера, так как числитель общего члена ряда содержит n! , а знаменатель – показательную функцию :

Поскольку D > 1, то ряд расходится.

3) Для знакочередующегося ряда составим ряд из модулей и применим к нему интегральный признак Коши-Маклорена.

Рассмотрим

Несобственный интеграл сходится, значит ряд из модулей сходится и потому исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

4) Рассмотрим данный знакочередующийся ряд и ряд из модулей его членов . Подберем к нему ряд сравнения . Это гармонический ряд, он расходится. Найдем . Ряд из модулей расходится на основании предельного признака сравнения положительных рядов. Исходный ряд 4) знакочередующийся, его члены монотонно убывают по абсолютной величине, так как функция f(x) = (x+1)/(x²+1) имеет отрицательную производную при х>1:

и общий член ряда стремится к нулю. Рассматриваемый ряд сходится по признаку Лейбница, это условно сходящийся ряд.

5) Для данного ряда составим ряд из модулей его членов , этот ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю: Исходный знакочередующийся ряд тоже расходится по этой же причине.

Степенные ряды

Степенным рядом называется ряд вида

(3)

где - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.

Часто рассматривают степенные ряды более общего вида

(4)

частным случаем которых при являются обычные степенные ряды (3).

Придавая переменной х в степенном ряде конкретное числовое значение , получим числовой ряд, который сходится или расходится. Множество всех тех значений переменной, при которых данный степенной ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

При (соответственно, при ) всякий степенной ряд вида (3) (соответственно, вида (4)) сходится, поэтому область сходимости степенного ряда содержит по крайней мере одну точку.

Теорема (теорема Абеля). Если степенной ряд (3) сходится в точке , то он абсолютно сходится в каждой точке х, для которой .

Следствие. Если степенной ряд (3) расходится при некотором значении , то он расходится и при всех значениях х, для которых .

Интервалом сходимости степенного ряда вида (3) (соответственно, вида (4)) называется такой интервал (-R;R) (соответственно, ), что в каждой его точке ряд сходится абсолютно, а в каждой точке, лежащей вне отрезка [-R;R] (соответственно, ), ряд расходится. На границах интервала сходимости, то есть в точках (соответственно, в точках ), ряд может как сходиться, так и расходиться. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Интервал сходимости ряда, как правило, определяют с помощью признака Даламбера или признака Коши, примененных к знакоположительному ряду, составленному из абсолютных величин членов степенного ряда. Для вычисления радиуса сходимости степенного ряда применяются также формулы:

_{, (5)}

_{. (6)}

Рекомендации к выполнению задания

1.Найти радиус сходимости степенного ряда, выбрав одну из формул (5) или (6), более удобную для конкретного ряда.

2.Определить интервал сходимости степенного ряда с учетом его центра х₀ и радиуса R: на интервале (х₀ - R , х₀ +R) степенной ряд сходится, а на интервалах (- ряд расходится.

3.Исследовать поведение степенного ряда на концах интервала сходимости в точках х₀–R и х₀+R, используя при этом признаки сходимости числовых рядов.