6. Вопросы для самопроверки

1. Что называется статическим моментом сечения и как он обозначается?

2. Что называется осевым моментом инерции и как он обозначается?

3) Что называется полярным моментом инерции сечения и как он обозначается?

4) Что называется центробежным моментом инерции сечения и как он обозначается?

5) Какую размерность имеет статический момент сечения?

6) В каких единицах измеряются моменты инерции , , , ?

7) В каких случаях: , , ?

8) Какая зависимость существует между статическими моментами относительно параллельных осей , ?

9) Какие оси сечения называются центральными?

10) Чему равен статический момент относительно оси, проходящей через центр тяжести?

6 Расчёт на прочность при центральном растяжении статически определимой и неопределимой систем

6.1 Краткие теоретические сведения. Основные определения и формулы

Центральным растяжением (или сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила, а все остальные силовые факторы равны нулю. При этом растягивающие продольные силы принято считать положительными, а сжимающие - отрицательными. Рассматривая общий вариант определения внутренних усилий, необходимо пользоваться методом сечений: проекция на какую-либо ось внутренних сил в сечении, действующих со стороны левой части стержня на правую, равна проекции на эту же ось всех внешних усилий, приложенных к левой части. На основании метода сечений продольная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения:

(6.1)

Интенсивность нормальных сил σ в поперечном сечении выражается формулой, в которой параметр σ называется нормальным напряжением

(6.2)

где ΔF – элемент площади поперечного сечения.

В пределах малых удлинений для подавляющего большинства материалов справедлив закон Гука, который устанавливает прямую пропорциональную зависимость между напряжениями (σ) и деформациями

где – длина бруса;

Δ – удлинение бруса под действием силы

(6.3)

где Е – модуль упругости первого рода, характеризующий жесткость материала при линейной деформации.

Пользуясь формулами, основанными на законе Гука, (6.3) надо всегда помнить, что эта закономерность справедлива только до предела пропорциональности (σ_пц), представляет собой механическую константу материала. Изменение длины бруса длиной « », имеющего постоянное сечение F, определяется по формуле:

. (6.4)

В случае если брус имеет различную площадь и несколько рассредоточенных сил, вычисление удлинения производят по каждому участку, в пределах которого и , а результаты алгебраически суммируют.

Основной задачей расчёта конструкции является обеспечение её прочности в условиях эксплуатации. При этом необходимо обеспечить, чтобы наибольшие напряжения (σ_max), полученные в результате расчёта, не превышали некоторого значения, называемого допускаемым напряжением , то есть

. (6.5)

Для конструкций из пластичных материалов (у которых пределы прочности на растяжение и сжатие одинаковы) используется условие прочности в виде . Прочность конструкций, выполненных из хрупкого материала (чугун, керамика и т.д.) характеризуется различными значениями допускаемого напряжения при сжатии и растяжении соответствующие условия прочности в этом случае имеют вид:

, ,

где и – наибольшие расчётные напряжения при растяжении и сжатии.

Допускаемые напряжения , и определяются формулами:

(6.6)

(6.7)

(6.8)

где –нормативные коэффициенты запаса прочности,

имеющие различное значение в зависимости от назначения рассчитываемого элемента конструкции;

– соответственно пределы текучести и прочности материала при сжатии (σ_вс) и растяжения (σ_вр).

Использование при определении для пластичных материалов пределов текучести σ_Т связано с тем, что после достижения в опасной зоне конструкции напряжения σ_Т, деформации могут весьма резко увеличиваться даже при незначительном увеличении нагрузки. Количественная оценка прочности с использованием данных условий называется расчётом по методу допускаемых напряжений. Нагрузка, при которой наибольшие напряжения σ_max в элементе конструкции равны допускаемым напряжениям, называется допускаемой. При расчёте конструкций на прочность встречается три вида задач, различающихся формой использования условий прочности:

- проверка напряжений (проверочный расчёт)

- подбор сечений (проектный расчёт)

- определение грузоподъёмности (определение допускаемой нагрузки).

При проверке напряжений, площади поперечных сечений F , а также продольные усилия N известны и расчёт заключается в вычислении напряжений σ. Полученное при этом наибольшее расчётное напряжение _max сравнивается с допускаемым:

. (6.9)

Формула (6.9) записана для пластичных материалов, а для хрупких – условий прочности в общем случае должно быть два (см. выше).

При подборе сечений определяют требуемые площади поперечных сечений элементов (по известным продольным силам N и допускаемому напряжению ). Конструктивно принимаемые площади сечений F должны удовлетворять условию прочности в виде:

. (6.10)

При определении грузоподъёмности по известным значениям F и допускаемому напряжению вычисляют допускаемые продольные силы:

. (6.11)

По найденным значениям [N] определяют предельно допускаемые внешние нагрузки [ P ]. Для этого случая условие прочности имеет вид:

. (6.12)

Нормативные коэффициенты запаса прочности , , устанавливаются нормами и техническими условиями. Эти допускаемые параметры зависят от класса конструкции (капитальная, временная и т.п.), намечаемого срока её эксплуатации, вида нагрузки (статическая, циклическая и тому подобное), возможной неоднородности изготовления материалов, и других факторов. В ряде случаев приходится снижать коэффициент запаса в целях уменьшения массы конструкции, а иногда увеличивать, учитывая износ и коррозию материалов.

Брусья и шарнирно-стержневые системы, в которых внутренние усилия и опорные реакции от заданной нагрузки можно определить только с помощью уравнений равновесия (уравнений статики), называются статически определимыми. В отличие от них, статически неопределимыми называют системы, расчёт которых нельзя выполнить с помощью одних лишь уравнений равновесия. Поэтому дополнительно составляются уравнения совместности деформаций. Число дополнительных уравнений характеризует степень статической неопределимости рассматриваемой конструкции.