Минимизация переключательных функций.
Минимизация переключательных функций.
СовДНФ является исходной формой представления переключательных функций при построении логических схем. Однако схемы, построенные непосредственно по СовДНФ, громоздки и содержат излишне много элементов. После преобразования СовДНФ к минимальному виду задания функция реализуется более простой схемой.
Вид ДНФ, в записи которой содержится минимальное количество членов и букв, называется минимальной ДНФ.
Минимизацию переключательных функций, то есть отыскание минимальных ДНФ, можно проводить алгебраическими методами и методом Карно – Вейча. В обоих случаях исходной для минимизации формой является СовДНФ.
При использовании алгебраических методов процесс минимизации осуществляется в несколько этапов. Вначале по СовДНФ находят сокращенную ДНФ, затем отыскивают все тупиковые ДНФ, из которых выбирают минимальные ДНФ.
Сокращенная дизъюнктивная нормальная форма.
СовДНФ содержит все конституенты единицы заданной функции. Число конституент равно числу наборов; на которых функция принимает единичные значения. В этом случае каждая единица заданной переключательной функции обеспечивается (накрывается) единственным элементарным произведением – конституентой единицы.
Существуют ДНФ, состоящие из элементарных произведений, каждое из которых накрывает не одну, а сразу несколько единиц заданной функции. Такие элементарные произведения называются простыми импликантами.
Дизъюнкция всех простых импликант называется сокращенной ДНФ (СокрДНФ). Любая переключательная функция имеет единственную СокрДНФ.
СокрДНФ отыскивается методом Квайна с использованием операций неполного склеивания и поглощения.
Формула операции неполного склеивания.
xy
v
.
Формула
операции поглощения
.
В отличие от операции обычного склеивания, в случае неполного склеивания члены, участвующие в склеивании, остаются. Это необходимо потому, что оставшиеся члены могут склеиваться с другими членами совершенной ДНФ.
СокрДНФ находят в следующей последовательности.
Переключательную функцию записывают в СовДНФ и проводят все возможные операции неполного склеивания.
Проводят все операции поглощения.
В полученном выражении, если возможно, вновь проводят операции неполного склеивания и поглощения и т.д.
Импликанта, получившаяся в результате склеивания двух конституент, содержит число букв на единицу меньше, чем исходные конституенты. Говорят, что при склеивании ранг элементарного произведения уменьшается на единицу. Склеиваться могут только произведения с одинаковым количеством букв (имеющие одинаковый ранг), у которых число переменных с отрицаниями отличается лишь на единицу.
Пример 1:
Найти
СокрДНФ функции f
(A,B,C)
=
C
v
v
AB
.
Заданную функцию представим в СовДНФ, используя операцию развертывания:
1 2 3 4 5
f
(A,B,C) =
BC
v
v A
v
v AB
.
Произведем все возможные операции неполного склеивания.
Первый
член склеивается только со вторым членом
по переменной В. В результате склеивания
получается импликанта
С.
Второй и четвертый =
(по С); третий и четвертый =
(по А); третий и пятый = А
(по В).
В результате всех операций неполного склеивания получим выражение:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
C
v
v
v A
v
BC
v
C
v A
v
v AB
.
Проведем все операции поглощения.
Первая импликанта поглощает конституенты 5 и 6, то есть.
;
2-я – 6 и 8; 3-я – 7 и 8; 4-я – 7 и 9.
Все конституенты оказываются поглощенными соответствующими импликантами. Окончательно получим:
f (A,B,C) = C v v v A .
В полученном выражении ни одна из импликант не склеивается с другой. Следовательно, найдена СокрДНФ.
Может оказаться, что не все конституенты СовДНФ поглотятся импликантами. Такие конституенты войдут в СокрДНФ.