Часть 2: Расчет плоскопараллельного электростатического поля между линейным заряженным проводом и проводящим экраном

Построить картину плоскопараллельного электростатического поля, создаваемого 1-м проводом. При построении картины поля радиусом провода пренебречь. Принять число линий равного потенциала, включая границу , и число трубок потока вектора напряженности . Определить распределение индуцированного заряда σ по поверхности экрана.

Сперва необходимо с помощью конформных преобразований отобразить область на полуплоскость . Для нашего случая отображающая функция имеет вид:

Поскольку угол

Положение провода в области определяется следующим образом:

Найдем положение провода в верхней полуплоскости

А его зеркальное отображение равно:

Таким образом, координаты нити в области

Затем получим выражение для комплексного потенциала поля в . Искомый комплексный потенциал в области можно найти, воспользовавшись методом зеркальных изображений и формулой комплексного потенциала уединённой нити. Используя принцип наложения, можно получить следующее выражение:

Или:

Из этой формулы следует, что:

Приступим к построению картины поля в полуплоскости . Из условий мы имеем число линий равного потенциала, включая границу , и число трубок потока вектора напряженности . Тогда значение потока в трубке:

Обозначим номер линии напряженности через . Тогда для функции потока на линии с номером можно написать

Приращение потенциала при переходе от произвольной линии равного потенциала к соседней, для картины поля с квадратными ячейками равно:

Обозначим номер эквипотенциальной линии через . Тогда потенциал для линии с произвольным номером можно вычислить по формуле

В итоге для нахождения координаты точки с k-м номером мы будем пользоваться выражением:

А комплексный потенциал точки с k-м номером определим по формуле:

Далее выразим через Так как, , то

Результаты расчета для 45 точек представлены в таблице. Для простоты расчета было выбрано равным единце. Далее во всех формулах будет фигурировать как множитель, в зависимости от которого будут изменяться значения функций:

k	kv	ku	W=U+jU	ω	Re(w)	Im(w)	ω	z
1	0	0	1,255e7i*τ	7+6,875e4i	7,00	72,00	7+6,875e4i	185,421+185,402i
2	0	1	1,255e10i*τ	7+71,525i	7,00	71,53	7+71,525i	6,28+5,695i
3	0	2	2,51e10i*τ	7+39,789i	7,00	39,79	7+39,789i	4,868+4,087i
4	0	3	3,765e10i*τ	7+30,741i	7,00	30,74	7+30,741i	4,389+3,502i
5	0	4	5,02e10i*τ	7+27,133i	7,00	27,13	7+27,133i	4,185+3,242i
6	1	0	12550000000,00	-58,94	-58,94	0,00	-58,94	7,677i
7	1	1	1,255e10+1,255e10i*τ	-24,631+37,214i	-24,63	37,21	-24,631+37,214i	3,162+5,885i
8	1	2	1,255e10+2,51e10i*τ	-4,197+33,033i	-4,20	33,03	-4,197+33,033i	3,815+4,33i
9	1	3	1,255e10+3,765e10i*τ	2,403+28,598i	2,40	28,60	2,403+28,598i	3,943+3,626i
10	1	4	1,255e10+5,02e10i*τ	4,922+26,278i	4,92	26,28	4,922+26,278i	3,979+3,302i
11	2	0	25100000000,00	-21,60	-21,60	0,00	-21,60	4,648i
12	2	1	2,51e10+1,255e10i*τ	-14,882+16,804i	-14,88	16,80	-14,882+16,804i	1,945+4,32i
13	2	2	2,51e10+2,51e10i*τ	-4,997+23,1i	-5,00	23,10	-4,997+23,1i	3,053+3,784i
14	2	3	2,51e10+3,765e10i*τ	1,014+24,307i	1,01	24,31	1,014+24,307i	3,56+3,414i
15	2	4	2,51e10+5,02e10i*τ	4,052+24,336i	4,05	24,34	4,052+24,336i	3,79+3,211i
16	3	0	37650000000,00	-6,86	-6,86	0,00	-6,86	2,618i
17	3	1	3,765e10+1,255e10i*τ	-4,851+10,349i	-4,85	10,35	-4,851+10,349i	1,814+2,853i
18	3	2	3,765e10+2,51e10i*τ	-0,862+17,214i	-0,86	17,21	-0,862+17,214i	2,861+3,008i
19	3	3	3,765e10+3,765e10i*τ	2,503+20,764i	2,50	20,76	2,503+20,764i	3,422+3,034i
20	3	4	3,765e10+5,02e10i*τ	4,609+22,45i	4,61	22,45	4,609+22,45i	3,71+3,026i
21	4	0	50200000000,00	2,77	2,77	0,00	2,77	1,66
22	4	1	5,02e10+1,255e10i*τ	3,258+8,275i	3,26	8,28	3,258+8,275i	2,465+1,679i
23	4	2	5,02e10+2,51e10i*τ	4,338+14,759i	4,34	14,76	4,338+14,759i	3,14+2,35i
24	4	3	5,02e10+3,765e10i*τ	5,378+18,96i	5,38	18,96	5,378+18,96i	3,542+2,677i
25	4	4	5,02e10+5,02e10i*τ	6,101+21,369i	6,10	21,37	6,101+21,369i	3,763+2,839i
26	5	0	62750000000,00	11,23	11,23	0,00	11,23	3,35
27	5	1	6,275e10+1,255e10i*τ	10,742+8,275i	10,74	8,28	10,742+8,275i	3,486+1,187i
28	5	2	6,275e10+2,51e10i*τ	9,662+14,759i	9,66	14,76	9,662+14,759i	3,695+1,997i
29	5	3	6,275e10+3,765e10i*τ	8,622+18,96i	8,62	18,96	8,622+18,96i	3,837+2,471i
30	5	4	6,275e10+5,02e10i*τ	7,899+21,369i	7,90	21,37	7,899+21,369i	3,917+2,728i
31	6	0	75300000000,00	20,86	20,86	0,00	20,86	4,57
32	6	1	7,53e10+1,255e10i*τ	18,851+10,349i	18,85	10,35	18,851+10,349i	4,492+1,152i
33	6	2	7,53e10+2,51e10i*τ	14,862+17,214i	14,86	17,21	14,862+17,214i	4,336+1,985i
34	6	3	7,53e10+3,765e10i*τ	11,497+20,764i	11,50	20,76	11,497+20,764i	4,197+2,474i
35	6	4	7,53e10+5,02e10i*τ	9,391+22,45i	9,39	22,45	9,391+22,45i	4,106+2,733i
36	7	0	87840000000,00	35,60	35,60	0,00	35,60	5,97
37	7	1	8,784e10+1,255e10i*τ	28,882+16,804i	28,88	16,80	28,882+16,804i	5,581+1,505i
38	7	2	8,784e10+2,51e10i*τ	18,997+23,1i	19,00	23,10	18,997+23,1i	4,945+2,336i
39	7	3	8,784e10+3,765e10i*τ	12,986+24,307i	12,99	24,31	12,986+24,307i	4,502+2,699i
40	7	4	8,784e10+5,02e10i*τ	9,948+24,336i	9,95	24,34	9,948+24,336i	4,257+2,859i
41	8	0	100400000000,00	72,94	72,94	0,00	72,94	8,54
42	8	1	1,004e11+1,255e10i*τ	38,631+37,214i	38,63	37,21	38,631+37,214i	6,792+2,739i
43	8	2	1,004e11+2,51e10i*τ	18,197+33,033i	18,20	33,03	18,197+33,033i	5,287+3,124i
44	8	3	1,004e11+3,765e10i*τ	11,597+28,598i	11,60	28,60	11,597+28,598i	4,607+3,103i
45	8	4	1,004e11+5,02e10i*τ	9,078+26,278i	9,08	26,28	9,078+26,278i	4,294+3,06i

Таблица 1. Координаты узлов

Таким образом, конфигурация поля в области имеет вид:

Получив координаты точек пересечения линий равного потенциала и трубок напряженности, построим картину поля в области :

Теперь определим распределение индуцированного заряда по поверхности экрана. Плотность заряда, индуцированного на проводящей поверхности экрана равна:

Модуль напряженности вблизи поверхности экрана равен:

Комплексный потенциал заряженной нити равен:

Зная, что

Формулу для потенциала можно переписать в виде:

И производная потенциала по z в общем виде будет равна:

Путем несложных преобразований упростим это выражение:

Распределение заряда по верхней поверхности проводящего экрана будет равно:

При

А распределение заряда по нижней поверхности проводящего экрана.

Зависимости выглядят следующим образом:

Распределение заряда по верхней границе:

Распределение заряда по нижней границе:

Рассчитать емкость 1-го провода относительно экрана на единицу длины.

Для определения приближенного значения емкости воспользуемся следующими двумя приближениями:

При конформном преобразовании электрическая емкость провода не меняется:

Где – искомая емкость, а – емкость провода относительно проводящего экрана в области. При отображении провода в области изменяется форма сечения провода. Однако, основываясь на том, что в области при конформном преобразовании любая бесконечно малая фигура переходит в подобную в фигуру в области, мы можем допустить, что при весьма малом значении радиуса провода , его сечение в области будет мало рассчитать по формуле:

Найдем - производную отображающей функции в точке

Следовательно, радиус сечения провода в области равен:

Для расчета емкости воспользуемся приближенным соотношением:

И емкость на метр соответственно получится равной:

Емкость провода, расположенного на расстоянии от плоской проводящей поверхности:

Емкость для провода, распложенного на расстоянии от плоской проводящей поверхности, рассчитывается по формуле:

И емкость на метр соответственно получится равной:

Емкость цилиндрического конденсатора с радиусом внутренней жилы , внутренним радиусом оболочки и диэлектрической проницаемостью диэлектрика

Емкость цилиндрического конденсатора рассчитывается по формуле:

И емкость на метр соответственно получится равной:

Определить величины потенциалов каждого из проводов трехпроводной линии, приняв

Исходя из условий, определим координаты каждого из проводов из области . Они будут следующими:

Теперь отобразим координаты каждого из проводов из области на полуплоскость

При переходе в область у нас изменилось сечение каждого из проводов, что мы должны учесть. Их новые радиусы сечения будут равны:

Прежде чем приступать к определению потенциальных коэффициентов, нам необходимо определить расстояние между проводами и их зеркальными отображениями в области

В области провода расположены на высоте:

И зеркальные отображения проводов в области :

Расстояние между первым и вторым проводом:

Расстояние между первым проводом и зеркальным отображением второго:

Расстояние между первым и третьим проводом:

Расстояние между первым проводом и зеркальным отображением третьего:

Расстояние между вторым и третьим проводом:

Расстояние между вторым проводом и зеркальным отображением третьего:

Теперь приступим к определению потенциальных коэффициентов. Как известно, при конформных преобразованиях потенциалы и заряды электродов сохраняются. Следовательно, остаются неизменными и потенциальные коэффициенты. Поэтому их можно рассчитывать для полученной системы проводов, расположенных в области над плоской поверхностью земли. Пользуясь известными формулами для потенциальных коэффициентов для весьма тонких проводов, протянутых над плоской проводящей поверхностью, находим:

Теперь мы можем непосредственно рассчитать потенциалы каждого из проводов:

Определить емкость провода трехфазной транспонированной линии на единицу ее длины:

При наличии транспозиции середине значения параметров всей линии становятся одинаковыми для всех фаз. Среднее значение собственного потенциального коэффициента фазы:

Среднее значение взаимного потенциального коэффициента:

Искомая емкость фазы относительно земли вычисляется по формуле: