5. Перечень графического материала:

5.1. Графики распределения потенциала и напряженности между обкладками конденсатора во всех рассмотренных случаях; зависимости напряжений слоёв, максимальной напряженности, зарядов электродов q_1,2 и поверхностной плотности заряда  на них, ёмкости C от диэлектрической проницаемости ₁; распределение напряженности вдоль радиуса при оптимальном значении диэлектрической проницаемости ₂;

5.2. Картина электрического поля между проводом и заземленным проводящим экраном в канонической области D_ и в области D_z; распределение индуцированного заряда по поверхности экрана;

5.3. Картины магнитного поля, полученные указанными в п. 4.2.3 способами при заданных значениях ширины обмотки; зависимость индуктивности от ширины обмотки.

5.4. Презентационные материалы к защите.

6. Консультанты доц., д.т.н. Калимов А.Г.

7. Дата получения задания 6 октября 2014 г.

Руководитель доц., к.т.н. Модулина А.Н.

Задание принял к исполнению ________________ Никитин П.Д.

(подпись студента)

________________

(дата)

Содержание

Введение 7

Часть1: Расчет электростатического поля сферического конденсатора 8

Часть 2: Расчет плоскопараллельного электростатического поля между линейным заряженным проводом и проводящим экраном 29

Часть 3: Расчет магнитного поля полюса с обмоткой 44

Заключение 59

Список использованных источников 60

Введение Часть1: Расчет электростатического поля сферического конденсатора

В ывести выражение потенциала и напряженности электростатического поля в пространстве между обкладками сферического конденсатора с радиусами и . Между электродами помещена двуслойная изоляция с абсолютными диэлектрическими проницаемостями слоев и , радиус поверхности раздела слоев диэлектрика равен , внутренняя обкладка конденсатора подключена к источнику ЭДС с напряжением , внешняя заземлена ( ).

Нахождение потенциала и напряжённости электростатического поля по заданному распределению потенциала – задача, обратная основной задаче электростатики. Она решается с помощью уравнения Лапласа и граничных условий. Для сферического конденсатора решим уравнение Лапласа:

В силу того, что потенциал в сферическом конденсаторе не зависит от угла φ и θ, частные производные по этим углам будут равны нулю, следовательно

Где

В различных областях сферического конденсатора распределения потенциала будет описываться различными уравнениями:

Для R₁<r

Для R₁<r<R₁₂

Для R₁₂<r<R₂

Для определения постоянных интегрирования используем граничные условия

На границе

На границе

На границе

Таким образом, система уравнений имеет вид:

Решая полученную систему, найдем:

Зная выражение для потенциала, несложно найти выражение для напряженности электростатического поля:

Для R₁<r

Для R₁<r<R₁₂

Для R₁₂<r<R₂

В итоге мы получили следующие значения напряженности и потенциала в зависимости от расстояния:

Для R₁<r

Для R₁<r<R₁₂

Для R₁₂<r<R₂

Найдем полные заряды q каждого электрода и поверхностную плотность заряда σ на них.

На первом электроде:

На втором электроде:

График потенциала для задания 1.1

График напряженности для задания 1.1

Вывести выражение потенциала и напряженности электростатического поля в пространстве между обкладками сферического конденсатора с радиусами и . Двуслойная изоляция заменена однородным диэлектриком с проницаемостью , замен произведена при подключенном к внутреннему электроду источнике ЭДС

Решение в этом случае такое же, как в пункте 1.1 ­– нахождение потенциала и напряжённости электростатического поля по заданному распределению потенциала с помощью уравнения Лапласа и граничных условий. Воспользуемся решенным уравнением Лапласа

И рассмотрим распределения потенциала в двух областях:

Для R₁<r

Для R₁<r<R₂

И два граничных условия:

1. 

2. 

Таким образом, система уравнений имеет вид:

Решив систему уравнений из граничных условий нашли постоянные:

Снова найдем выражения для напряженности электростатического поля:

Для R₁<r

Для R₁<r<R₂

И, подставив константаны, запишем выражения для напряженности и потенциала в конечно форме:

Для R₁<r

Для R₁<r<R₂

Найдем полные заряды q каждого электрода и поверхностную плотность заряда σ на них.

На первом электроде:

На втором электроде:

График потенциала для задания 1.2

График напряженности для задания 1.2

Вывести выражение потенциала и напряженности электростатического поля в пространстве между обкладками сферического конденсатора с радиусами и . Двуслойная изоляция заменена однородным диэлектриком с проницаемостью , замена произведена после отключения внутреннего электрода от источника ЭДС.

Замена двуслойного диэлектрика на однородный происходит в три этапа:

А) Внутренний электрод подключен к источнику ЭДС, между обкладками двуслойный диэлектрик. Такая задача уже решена в пункте 1.1, и были получены следующие значения поверхностной плотности зарядов:

Б) Электрод отключен от источника ЭДС, ничего не изменилось.

В) Двуслойный диэлектрик заменен однородным диэлектриком с проницаемостью

Воспользовавшись условием сохранения заряда на отключенном внутреннем электроде, мы можем сказать, что

И, следовательно, решить прямую основную задачу электростатики – найти напряженность поля во всех точках, зная заряд.

Потенциал будет описываться новым уравнением с новыми константами:

И напряженность соответственно

Новая поверхностная плотность заряда

Для определения постоянной интегрирования C₃₁ используем условие сохранения поверхностной плотности заряда на внутреннем электроде _1новая = _{1старая}. Таким образом:

Поскольку электрод отключен, значит напряжение на границе , и мы можем найти константу

Выражения для потенциала и напряженности в конечной форме:

Полные заряды q каждого электрода и поверхностная плотность заряда σ на них будет такая же, как и в задании 1.1.

На первом электроде:

На втором электроде:

График потенциала для задания 1.3

График напряженности для задания 1.3

Полагая напряжение между электродами фиксированным и равным , получить и построить зависимости напряжений слоев диэлектрика и , максимальной напряженности поля , зарядов q каждого из электродов и поверхностной плотности зарядов σ на них, а также емкости системы С от .

Нам известно, что ,

Следовательно, для первого слоя диэлектрика

Потенциал для R₁<r<R₁₂ равен:

Из системы уравнений для определения постоянных интегрирования, полученной в пункте 1.1 выразим зависимость

Подставив в уравнение напряженности, при фиксированном радиусе , получим:

В итоге зависимость напряжения в первом слое диэлектрика имеет вид:

График этой зависимости выглядит так:

Для второго слоя диэлектрика

Потенциал для R₁₂<r<R₂ равен:

Из системы уравнений для определения постоянных интегрирования, полученной в пункте 1.1 выразим зависимость и

Подставив и в уравнение напряженности, при фиксированном радиусе , и, подставив в зависимость напряжения во втором слое диэлектрика, получим:

Эта зависимость имеет следующий вид:

Напряженность поля в области первого диэлектрика (R₁<r<R₁₂) будет описываться уравнением:

А в области второго диэлектрика (R₁₂<r<R₂):

Изобразив на одном графике зависимость , мы получим график максимальной напряженности поля

Максимальная напряженность:

Поверхностная плотность зарядов σ₁ и σ₂ зависит от следующим образом:

Ниже представлены графики этих зависимостей:

Зависимости зарядов q каждого из электродов от

Их графики выглядят следующим образом:

Зависимость емкости системы от рассчитаем по формуле:

Зависимость имеет вид:

Определить оптимальное значение диэлектрической проницаемости внешнего слоя изоляции, при котором максимальные величины напряженности во внутреннем и внешнем слоях диэлектрика одинаковы.

Из системы уравнений для определения постоянных интегрирования, полученной в пункте 1.1 выразим зависимость и

Значение абсолютной диэлектрической проницаемости первого слоя , второго слоя .Для того, чтобы максимальные величины напряженности во внутреннем и внешнем слоях диэлектрика были одинаковы, необходимо изменить до значения .

П ри новом значении график напряженности имеет вид: