12. Статистические показатели вариации признаков и их экономический смысл.

Вариация-различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. К показателям вариации относятся:размах вариации,среднее линейное отклонение,дисперсия,среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.размах вариации R, .Размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака. Для анализа вариации необходим показатель, который отражает все колебания варьирующего признака и дает обобщенную характеристику. Этосреднее линейное отклонение  (среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической). Среднее линейное отклонениедля несгруппированных данных:  , гдеп– число членов ряда; для сгруппированных данных:  , где - сумма частот вариационного ряда.Дисперсия признака - средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, она вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий.Простая дисперсия для несгруппированных данных: ;взвешенная дисперсия для вариационного ряда: .Cвойства дисперсии: 1) если все значения признака уменьшить или увеличить на одну и ту же постоянную величину А, дисперсия не изменится; 2) если все значения признака уменьшить или увеличить в одно и то же число раз (i раз), то дисперсия уменьшится или увеличится в  раз. Используя второе свойство дисперсии, можно получить формулу вычислениядисперсии в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов:  , гдеi – величина интервала; -новые (преобразованные) значения вариантов (А – условный ноль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой);  - момент второго порядка;  - квадрат момента первого порядка.Среднее квадратическое отклонение  равно корню квадратному из дисперсии:для несгруппированных данных:  ,для вариационного ряда:  .Среднее квадратическое отклонениепоказывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения. Исчисляем среднее значениеальтернативного признакаи егодисперсию. Среднее значение альтернативного признака  . Дисперсия альтернативного признака: . Подставив в формулу дисперсииq = 1 – p, получим . Таким образом, - дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих признаком, на долю единиц, не обладающих данным признаком.Среднее квадратическое отклонение альтернативного признака  . Для сравнения вариаций различных признаков, используют относительный показатель вариации – коэффициент вариации.Коэффициент вариацииотношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической: . Также коэффициент вариации используется как характеристика однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%

13. Правило сложения дисперсий и его использование в анализе факторов.

Исчисляя дисперсию изучаемого признака в пределах совокупности и, опираясь в расчётах на общую среднюю, мы не можем определить влияние отдельных факторов, характеризующих колеблемость индивидуальных значений (вариант) признака.

Это можно сделать при помощи группировок, подразделив изучаемую совокупность на группы, однородные по признаку-фактору. Причём можно определить три показателя колеблемости признака в совокупности:

- общую (или генеральную) дисперсию;

- межгрупповую дисперсию;

- среднюю внутригрупповых дисперсий.

Общая дисперсияхарактеризует вариацию признака, которая зависит от всех условий (факторов) в данной совокупности, и исчисляется по формуле

 

где  - общая средняя для всей изучаемой совокупности.

Межгрупповая дисперсияотражает вариацию изучаемого признака  которая возникает под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки. Она характеризует колеблемость групповых средних  около общей средней  и вычисляется по формуле

 

 

где  - численность отдельных групп.

Средняя внутригрупповых дисперсийхарактеризует случайную, не обусловленную признаком-фактором, вариацию в отдельных группах. Эта вариация возникает под влиянием других не учитываемых факторов и не зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки. Она определяется по формуле

 

,

 

где  - дисперсия изучаемого признака по каждой отдельной группе.

В математической статистике доказывается правило сложения дисперсий,которое говорит, что общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней внутригрупповых дисперсий. Оно записывается в виде формулы

 

 

Это правило (закон) сложения дисперсий имеет большую практическую значимость, так как позволяет выявить зависимость вариации от определяющих её факторов при помощи соотношения межгрупповой и общей дисперсии

 

 

Это соотношение называется коэффициентом детерминациии определяет процент различий (отклонений) в совокупности, обусловленный признаком-фактором, выбранным для группировки в качестве основного.