3.3. Численные методы решения кинетических уравнений.

3.3.1. Метод Эйлера

При решении обыкновенных дифференциальных уравнений вида

(3.40)

часто пользуются численными методами, основанными на разложении искомой функции в ряд Тейлора.

Простейшим численным методом решения обыкновенных дифференциальных уравнений является метод Эйлера. В основе этого метода лежит аппроксимация производной при малых изменениях аргумента.

Уравнение (40) заменяется разностным уравнением

(3.41)

Основная формула метода Эйлера имеет следующий вид

,

(3.42)

где y_i+1 – значение искомой переменной на последующем шаге;

y_i – значение искомой переменной на текущем шаге;

f_i – правые части дифференциального уравнения;

h – шаг интегрирования.

Так, для (3.38) при малых ∆t можно приближённо принять, что

(3.43)

величину называют шагом интегрирования. Решая уравнение (3.43), получим общую формулу Эйлера

,

(3.44)

где – правая часть уравнения (3.43);

.

Задав начальные условия: при t=0, С_R=С_R0=0, величину шага интегрирования h, а также параметры уравнения, с помощью формулы (3.44) можно провести пошаговый расчёт и получить решение данного уравнения (таблица 2).

Приведем пример интегрирования первого шага по методу Эйлера:

С_R1= С_R0 +h·(–k₁·C_A0e^-k1t–k₂C_R0);

Результаты первого шага зависят от начальной концентрации реагирующих веществ (С_А0) и величины шага h.

Организуя циклические вычисления по уравнению (3.44), получим для кинетической модели изменение концентраций реагирующих веществ от времени.

Ниже приводится таблица точных и приближенных (по методу Эйлера при h=0.1) решений уравнения.

Таблица 2. Сравнение решения, рассчитанного по методу Эйлера, с аналитическим решением

t, с	CR, моль/л
	(аналитическое решение)	(приближенное по методу Эйлера)
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0	0.00000 0.07073 0.10081 0.10856 0.10466 0.09526 0.08380 0.07213 0.06119 0.05140 0.04287	0.00000 0.07318 0.10418 0.11204 0.10788 0.09805 0.08612 0.07401 0.06268 0.05255 0.04375

Очевидно, что с помощью метода Эйлера нельзя получить точное решение дифференциального уравнения. Однако при уменьшении величины шага h приближенное решение значительно ближе к аналитическому, хотя все же не является точным.

При использовании приближенных методов основным является вопрос о сходимости. Понятие сходимости приближенного метода можно сформулировать по-разному. Применительно к разностным методам, к которым относится и метод Эйлера, наибольшее распространение получило понятие сходимости при h0. Фиксируем точку t и строим последовательность сеток _i, таких, что h0 и t_n=nh=t (тогда необходимо n∞). Говорят, что метод (41) сходится в точке t, если |y_n-u(t_n)|0 при h0, t_n=t.

Метод сходится на отрезке (0,T], если он сходится в каждой точке t(0,T].

Говорят, что метод имеет p-й порядок точности, если существует число p>0 такое, что |y_n-u(t_n)|=O(h^p) при h0.

Получим уравнение, которому удовлетворяет погрешность метода z_n= y_n-u(t_n). Подставляя y_n= z_n +u_n в (41), получим

(3.45)

Правую часть уравнения (3.45) можно представить в виде суммы

Функция называется невязкой или погрешностью аппроксимации разностного уравнения (3.41) на решение исходного уравнения (3.40). Видно, что невязка представляет собой результат подстановки точного решения u=u(t) в левую часть разностного уравнения (3.41). Если бы приближенное решение y_n совпало с точным u(t_n), то невязка равнялась бы нулю. Говорят, что разностный метод аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение, если 0 при h0. Разностный метод имеет p-й порядок аппроксимации, если = O(h^p).

Функция

обращается в нуль, если правая часть f не зависит от решения u. В общем случае пропорциональна погрешности z_n, так что по формуле конечных приращений имеем:

Порядок аппроксимации метода Эйлера (3.41) нетрудно найти, используя разложение по формуле Тейлора. Поскольку

то в силу уравнения (3.40)

т.е. метод Эйлера имеет первый порядок аппроксимации (так как h в первой степени) [8].