Закон теплопроводности Фурье

В общем случае передача тепловой энергии может осуществляться тремя способами: теплопроводностью, конвекцией и лучистой энергией.

Для твердых тел характерен первый способ. В жидкостях теплота передается конвекцией и теплопроводностью, в газах – в основном конвекцией и радиацией, в вакууме—только радиацией.

Закон теплопроводности Фурье устанавливает количественную связь между теплопроводностью металла, градиентом температуры и тепловым потоком в твердом теле. Рассмотрим передачу теплоты в стержне, температура по длине которого переменна.

dT/dx = tg



T

x

dQ

F

Согласно второму закону термодинамики, теплота будет передаваться от более нагретых к менее нагретым участкам. Количество теплоты dQ_x, протекающее вследствие теплопроводности за время dT через поперечное сечение F, пропорционально градиенту температуры dT/dx в рассматриваемом сечении, площади сечения F и времени t :

dQ_x = -  (dT/dx) F dt ,

где λ – коэффициент теплопроводности, Вт/м К.

Знак минус означает, поток теплоты направлен в сторону, противоположную возрастанию температуры.

В случае многомерного температурного поля закон Фурье принимает вид

.

Для удельного теплового потока dq₂ , определяемого количеством теплоты, проходящей через единицу поверхности в единицу времени, закон Фурье принимает вид:

.

Поверхностная теплоотдача и граничные условия

С поверхности металлов теплота передается конвективным путем или посредством радиации. В конечном итоге вся теплота, введенная при сварке, отдается в окружающее пространство и сварное соединение остывает.

При конвективном теплообмене теплота с поверхности уносится жидкостью или газом, которые перемещаются относительно поверхности. Движение жидкости или газа может возникать вследствие различной плотности нагретых или ненагретых зон или в результате принудительной циркуляции жидкости или газа.

Приближенно тепловой поток q_2к с единицы поверхности в единицу времени при конвективном теплообмене определяется по правилу Ньютона

,

где _к  коэффициент конвективной теплоотдачи; Т—температура поверхности твердого тела; Тс – температура окружающей среды .

Коэффициент _к может меняться в широких пределах в зависимости от следующих факторов:

от свойств окружающей среды (теплопроводности, плотности, вязкости) и ее движения относительно поверхности;

от физических свойств поверхности, отдающей теплоту;

от формы поверхности тела и ее положения в пространстве;

от разности температур Т-Тс.

При лучистом теплообмене удельный поток излучения определяется по закону Стефана-Больцмана

,

где Со = 57,6 нВт/(см²К⁴) ;

 коэффициент черноты; для абсолютно черного тела  = 1. Для окисленных шероховатых поверхностей стали  изменяется от 0,6 до 0,95. У алюминия  изменяется от 0,05 до 0,2 .

По аналогии с правилом Ньютона для конвективного теплообмена удельный тепловой поток можно связать с разностью температур Т-Тс

q_2r = _r (Т-Тс) ,

где _r – коэффициент лучистого теплообмена.

Тогда удельный поток полной теплоотдачи можно представить как сумму удельных потоков конвективного и лучистого теплообменов:

q₂ = _r (T-Tc) +_k (T-Tc) = (T-Tc) ,

г де  = _r + _k – коэффициент полной теплоотдачи, значительно изменяется с ростом температуры.

При температурах до 400-500 К основная часть теплоты отдается конвективным теплообменом, при более высоких температурах – лучистым.

Чтобы рассчитать изменение температуры тела, необходимо знание граничных условий :

условия теплообмена;

начальное распределение температуры при t = 0.

Граничное условие 1-ого рода определяет закон изменения температуры точек на поверхности тела. Его частный случай – изотермическое условие, когда температура на поверхности постоянна, что на практике соответствует интенсивному охлаждению поверхности тела проточной жидкостью. В этом случае  = .

Граничное условие 2-ого рода определяет значение теплового потока на границе тела. Практически важным частным случаем является адиабатическая граница, когда отсутствует теплообмен с окружающей средой, т.е. тепловой поток на границе тела равен нулю и  = 0.

Граничное условие 3-его рода определяет теплообмен с окружающей средой по правилу Ньютона

q_2S =(T_S-Tc),

где q_2S – удельный тепловой поток через границу поверхности S;

Фурье к границе тела по T_S – температура тела на поверхности.

По закону ступает теплота , при этом q_2S = q₂ .

Из граничного условия 3-его рода могут быть получены изотермическое и адиабатическое условия. Случай  =  соответствует изотермическому, а  = 0 – адиабатическому условию.