Лабораторно-практическое занятие n3. Вычисление функций. Выполнение расчетов.

Задание: научиться использовать Мастер функций программы Excel для выполнения расчетов с использованием различных классов функций.

Результат: пользователь сможет выполнять вычисления различных формульных выражений.

Решение:

1, Загрузите программу Excel.

2. Познакомьтесь с Мастером функций. Для этого щелкните мышью по кнопке fx. В открывшемся окне мастера функций в левой панели (Категория функций) вы видите классы функций, используемые в расчетах программой Excel( математические, логические, финансовые, статистические и т.д. ). Щелкая мышью по какому-либо классу функций, в правом окне вы видите имена функций каждого класса. Отметив мышью в правом окне имя функции вы видите внизу ее структуру (имя функции и перечень составляющих ее параметров). Более детальную информацию о назначении функции и примеры ее использования можно получить, нажав кнопку Справка. Ввод функций в ячейки таблицы осуществляется следующим образом. Выбрав имя функции, необходимо щелкнуть по кнопке Шаг >. В открывшемся окне выбранной функции вы вводите ее необходимые аргументы (числа, имена ячеек, условия и т.п). Если в качестве аргумента используется какая-либо другая функция, то необходимо выбрать ее имя с помощью кнопки fx, расположенной левее окна аргумента. Завершается ввод функций с помощью кнопки Готово. После ее нажатия вы возвращаетесь в ячейку ввода формулу и либо завершаете ввод, нажав Enter, либо продолжаете дальнейший ввод формульного выражения. После правильного ввода формулы в ячейку в ней отображается результат расчета.

3. Вычислить значения функций f(x,y) и 1/f(x,y) { x_n = x_o + (n-1)dx , y_n = y_o + (n-1)dy n=1...20}. Функция:

f(x,y)= ln¦x+y¦/(1 + y²) + x²sin³ x + e^tg(xy), x₀ = -2,2 , dx = 0.3, y₀ = 0,5, dy = 0,1

Данные разместить в таблице, округлив вычисленные значения функций до 3 знаков.

Выполнение данного задания аналогично выполнению задания 1. При вводе формульного выражения соблюдайте порядок выполняемых математических действий, баланс скобок, необходимые функции выбирайте из Мастера функций. Координаты ячеек набираются латинским шрифтом. Обратная функция 1/f(x,y) вычисляется делением 1 на ячейку, в которой вычисляется функция f(x,y). После ввода формул используйте копирование вычисленных ячеек для вычисления функций в остальных ячейках вашей таблицы.

4. Оформите созданную таблицу необходимыми заголовками, цветом, рамками и шрифтами.

5. Построить линейный график функций f(x,y) и 1/f(x,y). Оформить график, задав необходимые заголовки, масштабные сетки, метки.

6. Сохранить полученные результаты на гибком диске в каталоге Excel под именем Excel-4.xls.

Лабораторно-практическое занятие n4. Умножение матриц. Вычисление обратной матрицы. Решение уравнений и систем линейных уравнений

Задание: научиться использовать программу Excel для решения задач линейной алгебры (вычисление определителей матрицы, умножение матриц, вычисление обратной матрицы, решение систем линейных уравнений), а также находить корни нелинейных уравнений.

Результат: пользователь сможет с помощью программы Excel находить корни уравнений и решать системы линейных уравнений, вычислять определители матрицы и использовать матричное исчисление для решения экономических задач.

Решение:

1. Загрузите программу Exсel. Переименуйте лист 1 (новое название листа - Матрицы).

2. Для решения задач, связанных с необходимостью умножения матриц, вычисления обратных матриц, вычисления определителей матрицы, используемых для решения систем линейных алгебраических уравнений в программе Excel предусмотрены соответствующие функции, расположенные в Мастере функций. Любая матрица представляет собой массив данных, представляемый в виде таблицы размера m x n с числовыми данными. Познакомимся с предоставляемыми возможностями программы Excel на примере решения следующих задач:

1) Даны две матрицы A и В:

Необходимо:

a) вычислить определители матриц А и В;

б) найти матрицу, обратную к матрице А;

в) вычислить произведение матриц А и В.

г) осуществить проверку умножением прямой и обратной матриц, в результате должна получиться единичная матрица;

2) Решить систему линейных уравнений:

2.1. Для решения первой задачи в окне электронной таблицы введем элементы матриц А и В. В ячейке В1 введем заголовок - Матрица А, сами элементы матрицы расположим в ячейках А2:D5, каждое число - элемент матрицы вводится в отдельную ячейку. Соответственно в ячейке F1 введем заголовок - Матрица В, расположив ниже в ячейках F2:I5 элементы этой матрицы.

В ячейках А7 и F7 наберите заголовки: Определитель А= и Определитель В=.

Функция, используемая для вычисления определителя, имеет имя МОПРЕД, в качестве ее аргумента используется блок ячеек с элементами матрицы. В ячейку А8 введите формулу: МОПРЕД(А2:D5) и нажмите клавишу ввода Enter. В результате вы получите вычисленное значение определителя матрицы А. Аналогично в ячейке F8 вычисляется определитель матрицы В. Для ввода формулы можно использовать клавиатуру или Мастер функций.

2.2. Для вычисления матрицы А^-1, обратной к матрице А, используется функция МОБР, аргументом которой является массив данных исходной матрицы А. Обратная матрица будет существовать, если определитель матрицы А # 0. В ячейку А10 введите заголовок: Обратная матрица. Поставьте курсор на ячейку А11 и выделите блок ячеек А11:D14. Войдите в Мастер функций и найдите функцию МОБР, в окне функции введите ее аргумент - А2:D5, нажмите кнопку Закончить (вы увидите набранную формулу в ячейке А11) установите текстовый курсор в строку формул и завершите ввод, нажав клавиши Shift+Ctrl+Enter. В результате в ячейках А11:D14 вы получите элементы обратной матрицы.

2.3. Для умножения матриц А и В используется функция МУМНОЖ, аргументами которой являются элементы этих матриц. При умножении двух матриц необходимо помнить, что число колонок 1-й матрицы должно равняться числу строк второй, т.е. если 1-я матрица имеет размер mxn, а 2-я матрица nxk, то в результате получится матрица размера mxk.

Введите в ячейку А16 заголовок - Результирующая матрица. Так как у нас матрицы А и В имеют размер 4х4, то в результате также будет матрица размера 4х4. Поставьте курсор в ячейку А17 и мышью выделите блок ячеек A17:D20. Вызовите Мастер функций и выберите функцию МУМНОЖ. В окне функции введите ее аргументы - блоки ячеек А2:D5 и F2:I5 и нажмите кнопку . В ячейке А17 вы увидите вводимую функцию. Для завершения ее ввода в блок ячеек установите текстовый курсор в строку формул и нажмите клавиши Shift+Ctrl+Enter. В результате в ячейках вы получите элементы результирующей матрицы- произведения матриц А и В.

2.4. Проверьте правильность вычисления обратной матрицы А^-1 умножением на нее исходной матрицы А, в результате должна получиться единичная матрица Е.

В ячейках, где представлены результаты, задайте числовой формат - два десятичных знака после запятой.

Умножение матриц часто используется при решении практических задач, где данные представлены в табличной форме.

Решим одну из таких задач.

2.5. Продовольственная база снабжает сеть из 11 магазинов. В течение квартала в магазины осуществляется завоз набора основных продуктов. График завоза продуктов приведен в таблице 1. Набор основных требуемых продуктов по магазинам приведен в таблице 2. Необходимо определить общее количество продуктов, требуемое ежемесячно и в течение квартала. Результат поместить в таблицу 3.

Откройте новый рабочий лист. Присвойте листу новое имя - Задача. Наберите и оформите на этом листе представленные выше таблицы 1 и 2.

Таблица 1. План завоза продуктов по магазинам.

Месяцы	Номера магазинов
	N10	N12	N15	N18	N19	N20	N22	N25	N30	N32	N34
Январь	8	7	6	4	10	12	5	11	3	4	8
Февраль	7	8	7	5	9	10	7	10	5	5	7
Март	5	7	5	3	8	11	6	10	4	3	9
Итого

В строке Итого необходимо просуммировать значения в соответствующих столбцах.

Таблица 2. Объем поступлений продуктов при каждом завозе по магазинам.

N магазина	Консервы рыб., шт.	Мясо, т.	Колбасн. изд, кг	Сахар, ц.	Крупы, ц.	Макарон. издел., ц.
N10	200	5	100	5	4	4
N12	250	8	80	4	3	3
N15	150	9	90	5	4	4
N18	200	5	120	5	5	8
N19	100	2	70	3	2	2
N20	150	5	60	5	3	4
N22	120	6	90	5	5	4
N25	100	4	80	4	3	3
N30	100	4	50	3	2	2
N32	150	7	90	5	5	5
N34	150	6	100	5	4	4

Данные, представленные в этих таблицах, образуют две матрицы размера 4х11 и 11х6. Решение задачи получается умножением соответствующих элементов 1-й и 2 таблиц, т.е. обычным умножением матриц. Результирующая матрица, образующая Таблицу 3, будет иметь размер 4х6.

Подготовьте форму таблицы 3. Ее верхняя строка заголовков получается копированием верхней строки с заголовками Таблицы 2, а левые заголовки получаются копированием левой колонки с заголовками Таблицы 1.

Таблица 3. Требуемое количество продуктов на 1-й квартал.

	Консервы рыб., шт.	Мясо, т.	Колбасн.изд, кг	Сахар, ц.	Крупы, ц.	Макарон. издел., ц.
Месяцы
Январь
Февраль
Март
Итого

Результаты внутри Таблицы 3 получаются как результат умножения данных Таблицы 1 (матрица А) на данные Таблицы 2 (матрица В) аналогично выполненному ранее умножению матриц.

2.6. Для решения системы линейных уравнений откройте новый рабочий лист, присвойте ему имя Система уравнений.

Система линейных уравнений в матричной форме имеет вид: АХ=В, где А - матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных в уравнениях, Х - вектор из неизвестных, В - вектор, составленный из правых частей уравнений. Решение системы линейных уравнений в матричной форме имеет вид: Х=А^-1•В, т.е. для нахождения решения системы Х необходимо:

а) найти матрицу, обратную к исходной матрице А;

б) умножить получившуюся обратную матрицу на вектор свободных членов уравнений В.

Подготовьте на листе необходимые заголовки для решения системы: Исходная матрица, Правая часть системы уравнений, Обратная матрица, Решение.

Введите в соответствующие ячейки ниже заголовков матрицу из коэффициентов при неизвестных в уравнениях и правые части системы уравнений.

С помощью функции вычисления обратной матрицы вычислите обратную матрицу и поместите ее в соответствующей части рабочего листа.

С помощью функции умножения матриц умножьте обратную матрицу на вектор свободных членов и результат поместите в соответствующей части рабочего листа.

Проверьте полученное решение системы линейных уравнений. Для этого надо умножить исходную матрицу на полученное решение. В результате должен получиться вектор свободных членов.

3. Решение уравнений. Для решения алгебраических уравнений до 3 степени включительно существуют формульные выражения, позволяющие через коэффициенты при неизвестных в уравнении находит корни уравнения (например формула Виетта). Уравнения, начиная с 4-й степени и выше, а также трансцендентные уравнения обычно в радикалах не решаются. Для нахождения корней таких уравнений обычно используются приближенные методы решения, позволяющие по начальному приближению вычислять корни уравнения с задаваемой точностью. Наиболее часто используются метод касательных и метод хорд. Для применения этих методов необходимо выделить интервал, на котором корень уравнения будет единственным. На концах интервала функция должна принимать противоположные по знаку значения. На этом интервале функция должна быть непрерывной, монотонно возрастающей или убывающей (знак производной постоянен) и не иметь точек перегиба. Тогда решение уравнения может быть найдено приближенными методами. Эти методы реализованы в программе Excel в виде команды меню Сервис/Поиск решения. С помощью этой команды можно также находить точки экстремума и вычислять экстремальные значения функции (минимум/максимум).

3.1. Найти корни уравнения: 3x⁵ - 5x²sin(2x) + 2x -7 = 0 и найти минимум функции на интервале (-2; 3). Для решения задачи:

а) в ячейке А1 введите заголовок Решение уравнения, в ячейке В1 введите заголовок Функция, в ячейке С1 - Точка экстремума, в ячейке D1 - заголовок Минимум функции;

б) в ячейках А2 и С2 наберите начальное приближение - 0;

в) в ячейке В2 с помощью Мастера функций введите функцию, находящуюся в левой части уравнения (в качестве х будет ячейка А2): =3*A2^5-A2^2*SIN(2*A2)+2*A2-7;

г) в ячейке D2 также наберите нашу функцию, только вместо А2 необходимо набрать С2;

д) вызовите команду меню Сервис/Поиск решения. В открывшемся окне команды необходимо установить целевую ячейку В2 равной значению 0. В опции команды Изменяя ячейки указать ячейку, в которой мы ищем решение (А2). Приближенный анализ уравнения показывает, что решение будет больше, чем 1,2. Введем ограничение (нажмите опцию Добавить): A2>1,2. Далее кнопкой параметры можно установить максимальное число итераций, точность расчета и другие параметры поиска решения. После ввода всех необходимых для поиска решения данных нажмите кнопку Выполнить. В результате в ячейке А2 вы получите решение уравнения, Значение функции в ячейке В2 будет приблизительно (с заданной вами точностью) равно 0. Если в результате поиска решение не может быть найдено (об этом на экране будет выведено соответствующее сообщение), это означает,что заданный вами интервал поиска или начальное приближение подобраны неудачно и вам необходимо изменить интервал поиска, задаваемый ограничением;

е) для нахождения минимального значения функции необходимо вызвать команду Сервис/Поиск решения и в ее окне указать целевую ячейку D2 равной минимальному значению, изменяемая ячейка - С2, а ограничения поиска минимума (интервал (-2;3)), задается ограничениями C2>-2 и C2<3. В результате выполнения поиска решения в ячейке С2 вы получите точку экстремума, а в ячейке D2 - минимальное значение функции на интервале.

3.2. Найдите корни уравнения: x³ + arctg(x) - 2 = 0 и вычислите максимальное значение функции на интервале (-3;-1).

4. Сохранить полученные результаты на гибком диске в каталоге Excel под именем Excel-5.xls.