10.2.2. Корреляционная функция и амплитудный спектр огибающей сигнала

Применим рассмотренную выше двоичную псевдослучайную последовательность {d_i} для получения фазоманипулированного сигнала. С этой целью проманипулируем фазу колебаний высокой частоты

на угол  в те моменты времени t = i₀, для которых изменение начальной фазы составляет

что соответствует d_i = — 1. В остальные дискретные моменты t = i₀ начальную фазу оставим без изменения, поскольку для них

Тогда полученный в результате этого фазоманипулированный сигнал (рис. 10.9,а) будет иметь период и комплексную амплитуду (рис. 10.9,6)

(10.16)

Это выражение отличается от (10.2) только бесконечными пределами суммы. По аналогии с (10.3) нормированная корреляционная функция комплексной амплитуды этого сигнала при временном сдвиге где, как и раньше, k — целое число, 0 <  < ₀, имеет вид

Все отличия этого выражения от (10.3) обусловлены тем, что рассматриваемый сигнал является непрерывным и периодическим и продолжается во времени от —  до +. Поэтому корреляционная функция вычисляется путем интегрирования во времени на интервале длительности периода сигнала. Используя (10.14) и (10.15), преобразуем предыдущее выражение для двух частных случаев следующим образом:

и

или иначе (10.17)

Кроме того, поскольку сигнал периодический, то его корреляционная функция имеет тот же период: , где р — любое целое число.

Рис. 10.9. Сигнал (а), манипулированный по фазе двоичной псевдослучайной последовательностью, образованной по правилу и его комплексная амплитуда (б)

Рис. 10.10. Корреляционная функция двоичной псевдослучайной последовательности

Корреляционная функция (рис. 10.10) имеет за период Т = -N₀ один максимум шириной порядка ₀. В большую часть периода длительностью (1 — 2/N)T ее абсолютная величина в N раз меньше максимума. Так как в принципе N можно выбрать сколь угодно большим, то корреляционная функция таких сигналов может быть получена весьма близкой к идеальной.

Из-за большого сходства этой функции с корреляционной функцией шума образовавшая такой сигнал последовательность из двух дискретных символов и называется двоичной псевдослучайной или шумоподобной.

Дополнительные максимумы совместной корреляционной функции ₀(t, F) на плоскости t, F имеют высоту порядка , т. е. могут быть сделаны достаточно малыми.

Рассмотрим методику вычисления значений автокорреляционной функции двоичной псевдослучайной последовательности в дискретных точках с помощью таблицы-матрицы. Ввиду периодичности этой последовательности эта методика несколько отличае­ся от методики, изложенной в п. 10.1.1.

Сначала составляют вспомогательную ромбовидную таблицу-матрицу для одного периода последовательности (см. табл. 10.8, построенную для двоичной псевдослучайной последовательности N = 7).

Таблица 10.8

Далее все элементы, находящиеся справа от малой диагонали этой таблицы, переписываются в том же порядке слева направо в той же строке левее ромбовидной таблицы так, чтобы образо­валась прямоугольная таблица-матрица. Суммируя элементы ее вертикальных столбцов, получаем значения периода автокорреля­ционной функции последовательности в дискретных точках.

В отличие от сигнала с фазовой манипуляцией по закону кода Баркера, спектр которого непрерывный, рассматриваемый сигнал является периодическим и поэтому имеет дискретный спектр. Рассчитаем амплитудный спектр огибающей сигнала по ее автокорреляционной функции.

Вследствие (10.11) автокорреляционная функция последовательности является периодической, а ее спектр, т. е. энергетический спектр этой последовательности, линейчатым (дискретным).

Очевидно, амплитуда k-й гармоники автокорреляционной функции последовательности

а постоянная составляющая этой функции

Вследствие этого постоянная составляющая двоичной псевдослучайной последовательности

, а амплитуда ее k-й гармоники

Если же рассмотреть периодическую последовательность, период которой имеет ту же длительность, что и период двоичной псевдослучайной последовательности, и состоит из одного прямоугольного импульса тех же амплитуды и длительности, что и у импульсов двоичной псевдослучайной последовательности, то, пользуясь результатами, приведенными в [13], легко установить, что эта последовательность имеет постоянную составляющую В(0) = V/N и амплитуду А-й гармоники

.

Из попарного сопоставления четырех последних выражений следует, что кодирование прямоугольных импульсов по закону двоичной псевдослучайной последовательности не изменяет постоянной составляющей (что объясняется структурой этой последовательности), но увеличивает в раз амплитуды всех гармонических составляющих (рис. 10.11).

Таким образом, как и в предыдущем случае, ширина спектра этого сигнала равна ширине спектра элементарных радиоимпульсов длительности ₀, из которых составлен этот сигнал, т. е.

Поэтому база сигнала, т. е. произведение ширины его спектра на длительность его периода T = N₀, составляет B = ПT = N = 2ⁿ – 1 и обычно много больше единицы. Следовательно, этот сигнал является сложным.

Сигналы, манипулированные по фазе двоичными псевдослучайными последовательностями, применяются в широкополосных системах связи. Возможности различения таких сигналов определяются их взаимно-корреляционными свойствами. Ввиду псевдошумового характера этих последовательностей можно ожидать, что различные их виды обладают малой взаимной корреляцией. Действительно, две любые различные двоичные псевдослучайные последвательности с периодом и то, где Т₁ и Т₂ являются взаимно простыми числами, имеют постоянную нормированную взаимно-корреляционную функцию, которая равна величине, обратной произведению N₁N₂:

при любом , где ₀ — длительность элементарного импульса этих последовательностей; —числа элементов в одном периоде последовательностей; n₁ и n₂ — целые числа; —нормированные комплексные амплитуды сигналов, кодированных по фазе этими последовательностями.

Рис. 10.11. Амплитудные спектры некодированных (а и в)

и двоичных псевдослучайных (б и г) последовательностей

Сделанное выше утверждение иллюстрируется примером вычисления взаимно-корреляционной функции двух двоичных псевдослучайных последовательностей с N₁ = 7 и N₂ = 3 для временного сдвига  = 0; ₀ и 2₀ (рис. 10.12). Так как вторая последовательность повторяется с периодом 3₀, временные сдвиги  = 3₀, 4₀, 5₀, 6₀, 7₀, ..., сводятся соответственно к рассмотренным случаям для  = 0, ₀, 2₀, 0, ₀, ... При сдвиге на , отличающемся от целого числа ₀, нормированная взаимно-корреляционная функция имеет ту же величину. Итак, при любых  нормированная взаимно-корреляционная функция постоянна и равна 1/21, что подтверждает сделанное выше утверждение.

Рис. 10.12. Вычисление значений взаимно-корреляционной функции двух двоичных псевдослучайных последовательностей при трех значениях временного сдвига

Если взять N₁ и N₂ достаточно большими (и взаимно простыми) числами, то нормированная взаимно-корреляционная функция соответствующих двоичных псевдослучайных последовательностей будет столь малой, что эти последовательности можно считать практически некоррелированными. Это свойство двоичных псевдослучайных последовательностей можно с успехом использовать и для обеспечения электромагнитной совместимости двух и более РЛС, работающих в одном частотном диапазоне и применяющих сигналы, фаза которых манипулирована указанными последовательностями.