Глава 10.

Оптимальные (согласованные) фильтры для фазоманипулированных сигналов

10.1. ОПТИМАЛЬНЫЕ (СОГЛАСОВАННЫЕ) ФИЛЬТРЫ ДЛЯ СИГНАЛОВ, МАНИПУЛИРОВАННЫХ ПО ФАЗЕ В СООТВЕТСТВИИ С КОДОМ ЕАРКЕРА

10.1.1. Понятие о коде Баркера. Свойства сигналов

Два радиосигнала, имеющие одинаковую мощность и отличающиеся только фазой на , обладают максимально возможной степенью различия. Функция их взаимной корреляции при отсутствии временного сдвига равна —1. Именно поэтому использование таких сигналов при передаче дискретных сообщений (например, при телеграфии, которая называется в этом случае фазовой) обеспечивает наибольшую помехоустойчивость.

Внимательное рассмотрение сигналов с фазовой манипуляцией показало, что они представляют большой интерес и для радиолокации, поскольку корреляционные функции некоторых из них имеют требуемую форму: относительно малую длительность центрального выброса, сравнительно большое превышение центрального выброса над боковыми выбросами и т. п. Рассмотрим сначала один из классов таких сигналов, а затем в следующем параграфе— другой класс.

Возьмем N импульсных радиосигналов длительностью то и амплитуды V, которые различаются между собой смещением во времени на величину, кратную длительности, и могут отличаться начальной фазой на . Из этих элементарных импульсных сигна­лов образуем фазоманипулированный сигнал (рис. 10.1,а):

(10.1)

где начальная фаза (рис. 10.1,6)

причем _i равно или 0 или  в зависимости от применяемого кода. Здесь и далее для упрощения соотношений предполагается, что ₀₀ кратно 2. Обозначив cos _i = d_i, перепишем (10.1) так:

где I = l  N, a d_i равно или +1 или —1.

Рис. 10.1. Фазоманипулированный сигнал:

а — изменение во времени мгновенного напряжения;

б— изменение начальной фазы;

в— изменение комплексной амплитуды

Комплексная огибающая этого сигнала (рис. 10.1,в) может быть представлена в виде следующей суммы:

(10.2)

Нормированная корреляционная функция комплексной огибающей при временном сдвиге t= k₀ + , где k — целое неотрицательное число, а 0    ₀, равна, как это следует из внимательного рассмотрения временной диаграммы, изображенной на рис, 10.2.

(10.3)

Таким образом, анализируемая функция является линейной Функцией  на интервале длительностью ₀. Поэтому автокорреляционная функция комплексной амплитуды сигнала, составленного из элементарных радиоимпульсов, длительность которых одинакова и равна ₀, а начальная фаза или 0 или , представляет собой линейно-ломаную линию, точки излома которой соответствуют временным сдвигам, кратным длительности ₀. В этих точках

(10.4)

В частности, при отсутствии временного сдвига

при сдвиге на время (N - 1) ₀

Кроме того, при положительном m, начиная с нуля, и любом положительном значении

При отрицательных временных сдвигах автокорреляционную функцию легко определить, используя ее свойство четности: r(—t) = r(t).

Рис. 10.2. Временная диаграмма, поясняющая вычисление корреляционной функции

Выберем последовательность {d_i}, где I = 1  N, так, чтобы при значениях аргумента t, абсолютная величина которых больше или равна длительности ₀ элементарного импульса, нормированная автокорреляционная функция лежала в пределах —1/N  r(t)  1/N при |t|  ₀.

Так как корреляционную функцию определяют ее значения в дискретных точках при сдвиге t = k₀, то последнее неравенство для этих точек с учетом (10.4) можно представить в таком виде:

Поскольку элементы d_i последовательности, как и их произведения d_id_i+k, могут принимать только значения ±1, то, как легко убедиться, взяв несколько примеров, сумма любого четного числа членов вида d_id_i+k всегда четная, и сумма произвольного нечетного числа таких членов — нечетная. Кроме того, на интересующем нас интервале [—1, +1] имеется единственное четное число — нуль, на его границах расположены два нечетных числа:—1 и +1, а других целых чисел на рассматриваемом интервале не существует. Поэтому предыдущее неравенство при четном N эквивалентно следующей системе равенств — уравнений:

(10.5)

Аналогично при нечетном N

(10.6)

Одно из неизвестных d_i можно выбрать произвольно, положив; например, d_i = + l. Тогда каждая из систем (10.5) и (10.6) состоит из (N—1)-го уравнения с (N—1)-м неизвестным.

Из (10.5) и (10.6) следует, что выражение (10.3) может быть, упрощено. Так, при k=0 и нечетном N

ввиду чего

а при четном N вследствие того, что

При 1< k < N - 1 в случае четного N - k

откуда следует

В случае же нечетного N - k имеем

вследствие чего

При отрицательных временных сдвигах корреляционную функцию легко определить, используя ее свойство четности. При N = 2 система (10.5) представляет собой уравнение d₁d₂ = ±l. Кроме двух тривиальных решений d_i = d₂ = l и d₁ = d₂ = - 1, имеется еще два решения: d₁ = + l; d₂ = -l и d₁ = - 1; d₂ = + l. При N = 4 эта система имеет восемь решений (табл. 10.1).

Таблица 10.1

Легко заметить, что решения б, г, е и з являются соответственно зеркальными отображениями решений а, в, д и ж (т. е. изображающие их последовательности различаются друг от друга обратным порядком следования членов), а решения в, г, ж и з получены соответственно из решений а, б, д и е умножением каждого члена последовательности на —1. Поэтому независимыми решениями являются только а и д. Сравнение их корреляционных функций (рис. 10.3,а и б) показывает, что код а является несколько лучшим. При других четных N система (10.5) не имеет решений вида ±1.

При нечетном N решения системы (10.6) существуют только при N = 3, 5, 7, 11 и 13 (табл. 10.2).

Корреляционные функции сигналов при N=7, 11 и 13 построены соответственно на рис. 10.3,е, г и д. Интересно отметить, что при ,N = 5 и 13 они везде неотрицательны, тогда как при N = 3, 7 и 11 неположительны, за исключением участка —₀ < t < ₀.

Последовательности {d_i} при N = 3, 7 и 11 были впервые предложены Бэркером. Вследствие этого последовательности, удовлетворяющие условиям (10.5) и (10.6), носят название кодов Баркера.

При N > 13 кодов Баркера, к сожалению, не существует. Вследствие этого при оптимальной фильтрации невозможно получить превышение главного максимума модуля корреляционной функции над прочими максимумами более чем в 13 раз. Иначе говоря, при использовании сигнала, манипулированного по фазе в соответствии с кодом Баркера, главный максимум напряжения на выходе оптимального фильтра сопровождается побочными максимумами, относительная величина которых не может быть сделана меньше 1/13.

Рис 10 3. Корреляционные функции последовательностей Баркера

Рассмотренная корреляционная функция r(t) является сечением совместной корреляционной функции модуляции при F=0; . Другим сечением этой функции (уже плоскостью t = 0) является

-которое приводит к равенству

Это выражение совпадает с (6.3), так как полная длительность сигнала Как уже отмечалось, формула (6.3) справедлива для любого сигнала с постоянной амплитудой в течение всей его длительности. Как видно из рис. 6.5, побочные максимумы функции (6.3) или (6.10) меньше главного максимума приблизительно в 5 раз.

Вычисление автокорреляционной функции сигнала, манипулированного по фазе достаточно сложным законом, представляет собой, если для этой цели не применяется цифровая ЭВМ, громоздкую и утомительную процедуру. Она может быть значительно упрощена использованием следующей методики. Как показано выше, при анализе выражения (10.3), вычисление корреляционной функции сводится к определению ее значений (10.4) в дискретных точках, соответствующих временным сдвигам, кратным длительности элементарного импульса ₀. Последнее нетрудно сделать с помощью ромбовидной таблицы (см. табл. 10.3), построенную для последовательности Баркера с N=7. В боковике этой таблицы запишем рассматриваемую последовательность снизу вверх. Если в строке боковика стоит +, то перепишем без изменения эту последовательность в горизонтальную строку, а если на указанном месте находится —, то сменим знаки всех ее элементов.

Таблица 10.3

Иными словами, в верхнюю строку запишем последовательность, элементы которой являются произведением соответствую­щего элемента исходной последовательности на ее последний эле­мент (он записан в верхней строке боковика). Во второй строке запишем со сдвигом вправо на один элемент аналогичную последовательность произведений элементов исходной последователь­ности на ее предпоследний элемент (он записан во второй строке боковика). Повторим эту операцию столько раз, сколько элементов в последовательности. Просуммировав элементы каждого вертикального столбца образовавшейся ромбовидной таблицы, определим значения автокорреляционной функции этой последовательности в дискретных точках (они записаны внизу таблицы). Построив эти значения на графике и соединив соседние значения отрезками прямых линий, получим автокорреляционную функцию последовательности, которая отличается от нормированной автокорреляционной функции (рис. 10.3,в) только масштабом по оси ординат. Изложенная методика является по существу матричным представлением соотношения (10.4).

Пользуясь тем, что автокорреляционная функция сигнала, фаза которого манипулирована по закону Баркера, известна, легко определить его амплитудный спектр. Действительно, энергетический спектр сигнала связан с его автокорреляционной функцией R() преобразованием Фурье:

С другой стороны, энергетический спектр равен удвоенному квадрату амплитудного спектра .

Поэтому амплитудный спектр сигнала

(10.7)

В данном случае ненормированная автокорреляционная функция R() (см. рис. 10.3) последовательности Баркера при нечетных значениях N (которые только и представляют практический интерес) состоит из N симметричных треугольных импульсов длительности 2₀ смещенных друг относительно друга на время, кратное 2₀, и имеющих соответственно комплексные амплитуды NV²₀ (центральный выброс) и ±V²₁₀ (боковые выбросы), причем положительный знак соответствует N = 5 и 13, а отрицательный — N = 3, 7 и 11.

Поскольку треугольный симметричный (относительно t = 0) импульс амплитуды U_и и длительности t_и имеет спектральную плотность

то спектральная плотность автокорреляционной функции последовательности Баркера

Следовательно, рассматриваемая последовательность имеет энергетический спектр (положительных частот)

Суммируя геометрические прогрессии в предпоследнем выражении и произведя элементарные преобразования, получаем

Тогда согласно (10.7) амплитудный спектр последовательности Баркера

Здесь, как и выше, положительный знак перед скобкой имеет место при N = 5 и 13, а отрицательный — при N=3, 7 и 11.

Таким образом, амплитудный спектр последовательности Баркера представляет собой произведение амплитудного спектра одного из импульсных сигналов, из которых составлена эта последовательность, и функции (фактора сложности формы) :

Последняя является периодической относительно  с периодом /₀.

Рассмотрение амплитудных спектров двух последовательностей Баркера при N=11 и 13 (рис. 10.4) показывает, что они практически совпадают, за исключением области очень низких частот и окрестности частоты /₀. Это отличие спектров объясняется различием структуры кодов Баркера при указанных значениях N.

Рис. 10.4. Амплитудные спектры последовательностей Баркера

Рис. 10.5. Структурная схема генератора фазоманипулированного сигнала при N=7 и временные диаграммы напряжения:

ГОИ — генератор одиночного импульса

Из предыдущего рассмотрения следует, что ширина спектра анализируемого сигнала совпадает с шириной спектра элементарного радиоимпульса этого сигнала, которая составляет П1/₀.

Следовательно, база сигнала, т. е. произведение его длительности ₁ = N₀ на ширину П спектра, равна B = П₁ = N, а значит больше единицы. Именно поэтому такой сигнал и будет сложным' причем в тем большей степени, чем больше число N элементов сигнала.