4. Транспортная задача

4.1. Постановка транспортной задачи по критерию стоимости в матричной форме

В m пунктах отправления A₁, A₂, …, A_m, которые в дальнейшем будем называть поставщиками, сосредоточено определенное количество единиц некоторого однородного продукта, которое обозначим a₁, a₂,…, a_m. Данный продукт потребляется в n пунктах B₁, B₂,…, B_n, которые будем называть потребителями; объем потребления обозначим b₁, b₂, …, b_n. Известны расходы (транспортные издержки) на перевозку единицы продукта из пункта A_i (i = 1, 2, …, m) в пункт B_j (j = 1, 2, …, n), которые равны c_ij и приведены в матрице транспортных расходов (издержек) C = (c_ij).

Требуется составить план перевозок, при котором весь продукт вывозится из пунктов A_i в пункты B_j в соответствии с потребностью и общая величина транспортных расходов (издержек) будет минимальной.

Обозначим количество продукта, перевозимого из пункта A_i в пункт B_j, через x_ij. Предполагается, что все x_ij  0. Совокупность всех переменных x_ij для краткости обозначим X.

В математической форме задача линейного программирования имеет следующий вид:

	(15)
	(16)
	(17)

при этом (15) – целевая функция, (16) – ограничения по потребностям и запасам, (17) – условие неотрицательности.

Стоимость всех перевозок выражается линейной функцией (15). Условия (16) означают полное удовлетворение спроса во всех пунктах потребления и определяют полный вывоз продукции от всех поставщиков.

Для наглядности условие транспортной задачи (ТЗ) можно представить таблицей, которую будем называть распределительной. Распределительную таблицу называют иногда табличной или матричной моделью ТЗ (матрицей планирования).

Матрицу X = (x_ij)_mn будем называть матрицей перевозок, матрицу C = (c_ij)_mn – матрицей тарифов, а число c_ij – тарифом клетки (i; j).

Будем называть план перевозок X = (x_ij)_mn допустимым, если он удовлетворяет ограничениям (16).

Допустимый план перевозок, доставляющий минимум целевой функции (15), называется оптимальным.

Таблица 13

Потребители, Вj	В1	В2	…	Вп	Запасы, аi
Поставщики, Аi
	c11	c12		c1n
A1	x11	x12	…	x1n	a1
	c21	c22		c2n
A2	x21	x22	…	x2n	a2
	cm1	cm2		cmn
Am	xm1	xm2	…	xmn	am
Потребности, bj	b1	b2	…	bn

Теорема 8 (о существовании допустимого плана). Для того, чтобы ТЗ имела допустимые планы, необходимо и достаточно выполнение равенства

(18)

(сумма запасов продукта равна сумме спроса на него).

Условие (18) является условием баланса.