1. Процесс гибели и размножения

Процессом гибели и размножения называется такой процесс, граф состояний которого приведён на рис. 8.1.

Рис. 8.1

Под воздействием пуассоновских потоков возможен переход из любого состояния в соседние или ,… Из состояния возможен переход только в , а из состояния – только в .

Используя уравнения Колмогорова – Чепмена для каждого состояния системы, введя соответствующие вероятности состояний получим:

Рассмотрим установившийся (стационарный) режим развития процесса в системе , присоединяя к ней , получаем систему

;

Решив эту систему, найдем

(8.2)

Подставляя выражения (8.2) в уравнение нормирования, находим значение :

(8.3)

Подставляя найденное значение Р₀ в предыдущие выражения для Р₁, Р₂, …, Р_m, находим конечные значения вероятностей состояний системы при установившемся режиме развития процесса.

Данные формулы можно использовать при решении многих задач теории массового обслуживания.

Системы массового обслуживания с простейшим входящим потоком и показательным временем обслуживания.

Будем рассматривать СМО, у которых входящий поток пуассоновский, а время обслуживания – показательное.

Многоканальная система обслуживания с отказами (задача Эрланга).

Пусть СМО содержит каналов, входящий поток заявок имеет интенсивность , поток обслуживания заявки одним каналом имеет интенсивность . Пронумеруем состояния СМО по числу занятых каналов: все каналы свободны; один канал занят; …, каналов занято, каналов свободны;…, все каналы заняты. Размеченный граф состояния имеет следующий вид (рис.8.2)

Очевидно, что граф является графом процесса гибели и размножения, для которого

(8.4)

Используя формулы (8.1), при обозначении через и учитывая (8.4), можно получить предельное распределение вероятностей состояний:

(8.5)

С помощью формул (8.5) можно вычислить показатели эффективности СМО:

,

где называется коэффициентом загрузки системы. Рассматривая подробно другие СМО с учетом использованием теории, можно для них получить формулы, характеризующие работу СМО (табл. 8.3).

Контрольные вопросы

1 Каковы основные элементы систем массового обслуживания?

2 Перечислите типы и характеристики систем массового обслуживания.

3 Какие системы массового обслуживания формализуются процессами гибели и размножения?

4 В чем заключается суть оптимизации систем массового обслуживания?

Таблица 8.3

Показатели	Одноканальная СМО			Многоканальная С М О ( n каналов )
	с отказами	с очередью длины m	без отказов	с отказами	с очередью длины m	без отказов
Предельные распределения вероятностей состояний
- абсолютная пропускная способность						
			1	1		1
			0			0
	0			0
	0			0