2.10 Оболочки, составленные из нечетного числа слоев, симметрично расположенных относительно координатной поверхности

Рассмотрим оболочки, составленные из нечетного числа однородных анизотропных слоев. Слои оболочки имеют одинаковые толщины и физико-механические свойства. Координатная поверхность является срединной поверхностью как для среднего слоя, так и всей оболочки в целом.

В силу симметрии имеем (см. рис. 2.4)

(2.56)

, ,

, .

При этом из (2.29) для жесткостей оболочки получим

;

(2.57)

;

.

Для соотношений упругости и потенциальной энергии соответственно получим

; ;

(2.58)

;

;

; ;

.

. (2.59)

В каждом конкретном случае в эти выражения необходимо подставлять те или иные выражения для жесткостей оболочки.

2.11. О соотношениях упругости

Исходя из гипотезы недеформируемых нормалей, следует, что независимо от расположения координатной поверхности оболочки все внутренние силы и моменты в общем случае зависят от деформаций удлинений и сдвига, так и от параметров изменений кривизны ее координатной поверхности.

В связи с этим, безразлично, какое расположение имеет исходная координатная поверхность оболочки. Поэтому интересно выяснить то расположение координатной поверхности оболочки, для которого все жесткости взаимного влияния превращаются в нуль, и для многослойной оболочки получаются наиболее простые соотношения упругости.

Полагая =0, из (2.29) получим

при , =0 (2.60)

при , =0 (2.61)

при , =0 и т.д. (2.62)

Рассматривая эти выражения, замечаем, что в общем случае анизотропии слоев оболочки все значения отличны друг от друга. Отсюда следует, что в общем случае анизотропной слоистой оболочки, когда не ставятся какие-либо ограничения на упругие характеристики материалов слоев оболочки, нет единого расположения координатной ее поверхности, для которого все жесткости взаимного влияния превращаются в нуль.

При единой координатной поверхности оболочки все жесткости взаимного влияния превратятся в нуль, если поставить условие

, (2.63)

но это условие ставит существенные ограничения на другие характеристики материалов слоев оболочки.

Для примера рассмотрим двухслойную оболочку (рис. 2.6)

Рис.2.6

Полагая , , из (2.63) получим

= = …

= . (2.64)

Отсюда следует, что равенства (2.64) будут иметь место, если

, (2.65)

что является существенным ограничением для поставленной задачи.

В частном случае изотропной оболочки из (2.45) для упругих характеристик слоев имеем

(2.66)

, , ,

, , ,

где – модули упругости соответственно первого и второго слоев;

– коэффициенты Пуассона первого и второго слоев.

Подставляя из (2.66) в (2.65), получим

= = (2.67)

Отсюда следует, что эти равенства имеют место лишь при условии равенства коэффициентов Пуассона слоев оболочки, т.е. когда .

В этом случае легко получить значения , определяющее положение координатной поверхности оболочки, для которого жесткости превращаются в нули, т.е.

(2.68)

Таким образом, приходим к заключению, что в общем случае многослойной оболочки при отсутствии ограничения (2.63) не существует такого расположения координатной ее поверхности, когда и для многослойной оболочки получаются соотношения упругости типа (2.47) при =0.