2.7 Соотношения упругости
Уравнения, которые устанавливают связь между внутренними усилиями и деформациями координатной поверхности оболочки, называются соотношениями упругости. Для общего случая многослойной анизотропной оболочки они имеют вид
;
;
(2.31)
;
;
;
.
Уравнения для
и
не
будем приводить, так как при наличии
известных соотношений упругости
и
эти поперечные силы могут быть получены
из четвертого и пятого уравнений
равновесия (2.27).
2.8 Граничные условия
В реальных шахтных объектах можно встретиться с самыми разнообразными типами опор оболочек и это многообразие решений опор невозможно представить в виде каких-либо математических моделей – граничных условий. В связи с этим приведем лишь некоторые возможные варианты граничных условий.
Ради краткости записи граничных условий
приводим лишь для края, который
определяется координатной линией
.
1. Однородные граничные условия:
а) свободный край
,
,
,
; (2.32)
б) шарнирно-закрепленный край
,
,
,
;
(2.33)
в) шарнирный, свободный в тангенциальном направлении край
,
,
,
;
(2.34)
или
,
,
,
;
(2.35)
г) шарнирный, свободный в нормальном направлении край
,
,
,
;
(2.36)
д) абсолютно заделанный край
,
,
,
.
(2.37)
В последнем соотношении
– угол поворота нормали координатной
поверхности оболочки вокруг касательной
к линии
.
2. Неоднородные граничные условия:
а) загруженный край
(2.38)
,
,
,
где
,
,
,
–
усилия, приложенные к краю (в частном
случае некоторые из них могут быть равны
нулю).
б) шарнирный, неподвижно опертый край загружен моментом
,
,
,
;
(2.39)
в) шарнирный, свободный в тангенциальном направлении край загружен моментом и тангенциальной силой
,
,
,
;
(2.40)
или
,
,
,
;
(2.41)
г) шарнирный, свободный в нормальном направлении край загружен моментом и поперечной силой
,
,
,
;
(2.42)
д) смещенный край
,
,
,
,
(2.43)
где
,
,
,
,
– заданные перемещения и угол поворота
края оболочки.
Неоднородные граничные условия могут быть и смешанными. В этом случае необходимо следить, чтобы заданные усилия и перемещения не противоречили друг другу.
Аналогичным образом могут быть записаны
и граничные условия для края, который
определяется координатной линией
.
В случае, когда оболочка вовсе не имеет граничного контура (полностью замкнутая оболочка) или граничный контур определяется лишь по линии одной координаты (частично замкнутая оболочка), то граничные условия по направлению замкнутых координат теряют свои обычные формулировки и заменяются условиями периодичности с периодом, обеспечивающим однозначность перемещений в любой точке рассматриваемой замкнутой линии координат.
Приведенные результаты могут быть обобщены на случай сопряжения края рассматриваемой оболочки с каким-либо упругим бортовым элементом (балка, пластина, оболочка и т.д.).