2.4 Условия контакта смежных слоев

П ри формулировке основных понятий было сказано, что слои оболочки работают совместно без скольжения. В силу этого напряжения и перемещения отдельных слоев на поверхностях слоев должны удовлетворять следующим условиям контакта (рис. 2.1 и 2.3):

при

, , ; (2.24)

; ; ; (2.25)

Кроме этого, напряжения крайних слоев должны удовлетворять условиям на внешних поверхностях оболочки

при

, , ;

при

, , ,

где – соответствующие компоненты векторов интенсивности поверхностных нагрузок;

– номера крайних слоев.

2.5 Внутренние силы, моменты и уравнения равновесия

В дальнейшем нам нужно, кроме напряжений, использовать статически эквивалентные им внутренние силы и моменты, которые действуют на площадках главных нормальных сечений оболочки.

Из условий статической эквивалентности для внутренних тангенциальных ( ) и поперечных ( ) сил, а также для изгибающих ( ) и крутящих ( ) моментов, отнесенных к единице длины дуг соответствующих координатных линий, имеем (рис. 2.1, 2.4, 2.5)

На рис. 2.4 ) число всех слоев оболочки; – число слоев ниже координатной поверхности оболочки, – число остальных слоев. Если координатная поверхность оболочки расположена внутри какого-либо слоя, то под подразумевается число слоев выше координатной поверхности плюс один, а если же координатная поверхность совпадает с какой-либо поверхностью контакта, то под подразумевается число слоев выше координатной поверхности.

Тангенциальные силы и моменты согласно рис. 2.5 являются положительными и определяются из уравнений

, ;

, ;

(2.26)

, ;

, ;

, .

Пределы интегрирования: нижние , верхние .

Уравнения равновесия анизотропной слоистой оболочки имеют вид

;

;

(2.27)

;

;

;

.

где – радиусы кривизны координатной поверхности.

2.6 Потенциальная энергия деформации

Уравнение для потенциальной энергии деформации многослойной оболочки имеют вид

(2.28)

где коэффициенты имеют вид

;

; (2.29)

.

В частном случае, когда координатная поверхность оболочки совпадает с нижней поверхностью оболочки, превращается в нуль (рис.2.4), в связи с чем существенным образом упрощаются выражения (2.29), т.е.

;

; (2.30)

.

В уравнении (2.28) первая составляющая представляет потенциальную энергию удлинений и сдвигов, третье – изгибов и кручений, а второе – взаимное влияние изгибов, кручений. удлинений и сдвигов.

Коэффициенты называются жесткостями:

– жесткости растяжения – сжатия по координатным линиям , ;

– жесткость сдвига в плоскости, касательной к координатной поверхности;

– побочные жесткости растяжения – сжатия и сдвига, характеризующие влияние удлинений по координатным линиям , на сдвиг в касательной плоскости;

– жесткости изгиба вокруг осей, касательных к координатным линиям , ;

– жесткость кручения;

– побочные жесткости изгиба и кручения, характеризующие влияние изгибов осей, касательных к координатным линиям , на кручение;

–жесткости взаимного влияния растяжения и изгиба, характеризующие взаимное влияние растяжения и изгиба по линиям , ;

– жесткость взаимного влияния кручения и сдвига;

– побочные жесткости взаимного влияния изгибов на сдвиг и удлинений на кручение, соответственно.