2.2 Перемещения, деформации и напряжения в слоях

Геометрическая гипотеза о деформированных нормалях, данная для всего пакета оболочки в целом, освобождает нас от необходимости рассмотрения перемещений и деформаций каждого слоя в отдельности.

Имея деформации удлинения и сдвига, а также параметры, характеризующие изменение кривизны и кручения координатной поверхности оболочки, можно определить деформации и перемещения любого слоя оболочки.

Пользуясь основной гипотезой, можно записать следующие равенства:

, , , (2.8)

или для отдельного слоя оболочки

, , , (2.9)

которые равномерны допущению о том, что деформация оболочки в целом происходит без деформаций сдвига , в плоскости нормальных сечений и без деформаций удлинения по толщине оболочки.

В связи с этим, имеем

, , (2.10)

т.е. нормальное перемещение точки какого-либо слоя оболочки не зависит от координаты . Нормальные перемещения всех точек нормального элемента имеют постоянное значение и равняются нормальному перемещению той точки координатной поверхности, которая образуется при перемещении данной нормали с координатной поверхностью оболочки.

Для тангенциальных перемещений -го слоя оболочки имеем

; (2.11)

, (2.12)

где , тангенциальные перемещения соответствующей точки координатной поверхности оболочки.

Таким образом, формулами (2.10 – 2.12) устанавливается геометрическая модель деформированного состояния оболочки, а деформации имеют вид

; (2.13)

; (2.14)

, (2.15)

где – относительные деформации удлинений и сдвига координатной поверхностью оболочки;

– изменения кривизны координатной поверхностью оболочки,

– деформации сдвига, – относительная деформация кручения).

Пользуясь основной гипотезой, пренебрегая напряжениями из обобщенного закона Гука, получим

; (2.16)

; (2.17)

, (2.18)

где для коэффициентов имеем

; ;

; ; (2.19)

; ;

. (2.20)

2.3 Уравнения неразрывности деформаций координатной поверхности

Между шестью параметрами ε₁, ε₂, ω, х₁, х₂, τ, которые характеризуют деформацию координатной поверхности оболочки, существует три дифференциальных соотношения, справедливых при любых значениях перемещений u, v и w.

В общем виде имеем три дифференциальных соотношения относительно шести компонентов деформаций координатной поверхности оболочки

(2.21)

(2.22)

. (2.23)

Функции ε₁, ε₂, ω, х₁, х₂, τ, удовлетворяющие этим уравнениям, характеризуют такое деформированное состояние оболочки, при котором координатная поверхность остается сплошной, не претерпевая разрывов. В силу этого (2.21)–(2.23) называют условиями неразрывности координатной поверхности.

Эти условия для оболочки произвольной формы впервые были получены А.Л. Гольденвейзером.