2 Основные уравнения теории анизотропных слоистых оболочек
2.1 Основные понятия, исходные соотношения и гипотезы
Р
ассмотрим
многослойную тонкую оболочку постоянной
общей толщины
,
собранную из произвольного числа
однородных анизотропных слоев постоянной
толщины
(рис.2.1).
П
редполагается,
что в каждой точке каждого слоя оболочки
имеется лишь одна плоскость упругой
сим-метрии, параллельная координатной
поверхности оболочки; координатная
поверхность параллельна внешним
поверхностям оболочки и проходит внутри
какого-либо слоя.
П
усть
и
являются криволинейными ортогональными
ко-ординатами, совпадающими с лини-ями
главной кривизны координатной поверхности
оболочки, и
,
будучи нормальной к координатным линиям
,
.
является прямолинейной и представляет
расстояние по нормали от точки
коорди-натной поверхности до точки
оболочки (рис.2.2). Допустим, что все слои
оболочки при деформации остаются
упругими, т.е. подчиняются обобщенному
закону Гука и работают совместно, без
скольжения.
В выбранной триортогональной системе координат для коэффициентов Ляме имеем
,
,
,
(2.1)
где
и
являются коэффициентами первой
квадратичной формы координатной
поверхности,
,
–
главные кривизны координатной поверхности
оболочки на линиях соответственно
,
.
Для компонентов деформаций
-го
слоя оболочки имеем
;
(2.2)
;
(2.3)
;
(2.4)
;
(2.5)
;
(2.6)
.
(2.7)
Основной предпосылкой для построения
теории тонких анизотропных слоистых
оболочек является гипотеза недеформированных
нормалей. Она формулируется так:
нормальный к координатной поверхности
прямолинейный элемент оболочки после
деформации остается прямолинейным,
нормальным к деформированной координатной
поверхности оболочки и сохраняет свою
длину, а также нормальными напряжениями
на площадках, параллельных координатной
поверхности тонкой оболочки, можно
пренебречь по сравнению с другими
напряжениями.
Принимая гипотезу недеформированных
нормалей, в теории оболочек вносится
погрешность, которая будет порядка
,
однако есть случаи, когда эта погрешность
значительно больше.
Допуская обычную для инженерного расчета
относительную погрешность 5 %, тонкими
считаются такие оболочки, у которых
и одновременно
,
где
– минимальный линейный размер оболочки
в координатной поверхности,
– малая величина (например, для изотропной
оболочки ~ 0,1). Второе условие заимствовано
из теории пластин, является обязательным.
Так как если тонкую оболочку определять
только с точки зрения отношения толщины
оболочки к минимальному радиусу кривизны
координатной поверхности (первое
условие), то она с точки зрения теории
пластин (второе условие) может оказаться
толстой, и принятое основное предположение
станет неприемлемым.
Данное выше определение тонкой оболочки носит несколько условный характер, так как если толщину оболочки рассмотреть с точки зрения возможности применения гипотезы недеформируемых нормалей, то приведенное геометрическое определение тонкой оболочки в случае анизотропных слоистых оболочек будет нуждаться в существенных коррективах, о чем будет сказано ниже.