12. Функция распределения случайной величины

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

Если x .- случайная величина, то функция F(x) = F_x (x) = P(x < x) называется функцией распределе-ния случайной величины x . Здесь P(x < x) - вероятность того, что случайная величина x принимает значение, меньшее x.

Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

• F(x) определена на всей числовой прямой R;

• F(x) не убывает, т.е. если x₁ x₂, то F(x₁)  F(x₂);

• F(- )=0, F(+ )=1, т.е.   и  ;

• F(x) непрерывна справа, т.е. 

13. Функция распределения дискретной случайной величины

Если x - дискретная случайная величина, принимающая значения x₁ < x₂ < … < x_i < … с вероятностями p₁ < p₂ < … < p_i < …, то таблица вида

x1	x2	…	xi	…
p1	p2	…	pi	…

называется распределением дискретной случайной величины.

Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:

1	2	3	4	5	6
1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Образец решения задач

Дана выборка 30, 30, 20, 20, 25, 20, 20, 25, 30, 20.

Требуется:

а) Построить статистический ряд распределения частот

б) Построить полигон частот

в) Записать вариационный ряд, найти размах вариации

г) Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение

д) Найти моду, медиану, коэффициент вариации

е) Найти функцию распределения и построить её график

Решение

а) Построим статистический ряд распределения частот. Объём выборки:

	20	25		30
	5	2		3

б) Построим полигон частот.

в) Запишем вариационный ряд: 20, 20, 20, 20, 20, 25, 25, 30, 30, 30

Найдём размах вариации: R=30-20=10

г) Найдём математическое ожидание.

или

Найдём дисперсию.

или

Найдём среднее квадратическое отклонение.

д) Найдём моду: (т. к. число 20 встречается наибольшее количество раз, n=20)

Найдём медиану:

Найдём коэффициент вариации:

е) Найдём функцию распределения и построим её график

	20	25		30
	5	2		3

При ,

При ,

При ,

При ,

Построим график