Тема 2. “Решение косоугольных треугольников” Краткие теоретические сведения

1. Теорема синусов.

2. Теорема косинусов.

Образец решения задач

1. Дано:

Найти:

Решение

1. Найдём величину угла С по теореме синусов:

13:60+96=sin*31,16:44,3= SHIFT sin ( ) – 44 = * 60 = ( )

2. 

3. Найдём длину стороны по теореме синусов:

28,4

16:60+44=sin М+ 31:60+39=sin*31,1= : МR= (28,4)

Ответ: ;

2. Дано:

Найти:

Решение

1. 

2. Найдём длину стороны по теореме синусов:

36:60+120=sin M+

31:60+39=sin*33= : MR=(24)

3. Найдём длину стороны по теореме косинусов:

53:60+19= cos * 24 * 33 * 2 = +24 + 33 = (13)

Ответ:; , ,

3 Дано:

Найти:

Решение

1)

5,3 +6,1 -9,2 = : 2 : 5,3 : 6,1= SHIFT cos

-107= *60=

24 : 60+107=sin*6,1= : 9,2=SIFTsin

-39=*60=

2. 

Ответ: , ,

Тема 3. “Прикладные задачи, связанные с решением прямоугольных и косоугольных треугольников”

Цель работы: Применять полученные знания при решении прикладных задач, связанных с решением прямоугольных и косоугольных треугольников

Тема 4. “Вычисление площадей поверхностей и объёмов сооружений”

Цель работы: Применять полученные знания при нахождении площадей поверхностей и объёмов

сооружений.

Тема:5. “Множества и графы” Краткие теоретические сведения

1. Множества. Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы –

строчными. Запись  a   R  означает, что элемент  а  принадлежит множеству R , то есть  а  является элементом множества R . В противном случае, когда  а  не принадлежит множеству  R , пишут   a   R .  

 

Два множества А и В называются  равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества  А  является элементом множества  В  и наоборот, каждый элемент множества  В  является элементом множества  А .

 Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Говорят, что множество А содержится в множестве В ( рис.1 ) или  множество А  является подмножеством множества  В ( в этом случае пишут А  В ), если каждый элемент множества  А одновременно является элементом множества  В . Эта зависимость между множествами называется включением. Для любого множества  А имеют место включения:      А  и  А   А .

Диаграмма Эйлера:

Сумма ( объединение ) множеств  А и В ( пишется  А   В ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А , либо В. Таким образом,  е   А   В  тогда и только тогда, когда либо  е   А ,  либо  е   В .  

 Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Диаграмма Эйлера:

А   В 

Произведение ( пересечение ) множеств  А и В ( пишется  А   В , рис.2 ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит и А , и В . Таким образом,  е   А   В  тогда и только тогда, когда   е   А  и  е   В .

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Диаграмма Эйлера:

Разность множеств А и В ( пишется  А \ В  , рис.3 ) есть множество элементов, которые принадлежат множеству А , но не принадлежат множеству В. Это множество называется также дополнением множества В относительно множества А.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то А \ В   = {1,2}

Диаграмма Эйлера:

  

2. Графы. Графом в математике называется конечная совокупность точек, называемых

вершинами; некоторые из них соединены друг с другом линиями, называемыми ребрами графа. Рёбра графа могут изображаться как прямыми, так и кривыми линиями.

Если вершина графа не соединена с другими вершинами отрезками, её можно назвать изолированной.

При взгляде на географическую карту сразу бросается в глаза сеть железных дорог. Это типичный граф: кружочки обозначают станции-вершины графа, а соединяющие их пути – ребра.

Если каждая вершина графа соединена отрезками со всеми остальными, то граф будет называться полным.

Граф называется ориентированным, если указано направление дуг и  неориентированным, если такое направление не указано. Примером неориентированного графа является карта дорог.

Граф называется петлей, если его начало и конец совпадают.

Две вершины называются смежными, если существует соединяющая их дуга.

Степенью (валентностью) вершины называется число ребер графа, которым принадлежит эта вершина.

 Кратностью пары вершин называется число соединяющих их ребер или дуг.

Подграфом G_a графа G называется граф, в который входит лишь часть вершин графа G вместе с дугами их соединяющими.

Частным графом G_b графа называется граф, в который входит лишь часть дуг графа G вместе с вершинами их соединяющими. Карта шоссейных дорог это граф. Дороги Саратовской области это подграф, а главные дороги – это частный граф.

Путем в графе G называется такая последовательность дуг, в которой конец каждой последующей дуги совпадает с началом предыдущей.

 Длиной пути называют число входящих в этот путь дуг. Путь может быть конечным и бесконечным.

Путь, в котором никакая дуга не встречается дважды, называется элементарным путём.

Гамильтонов путь на графе – путь, проходящий по одному разу через все вершины графа.

Контур – это конечный путь, у которого начальная и конечная вершины совпадают. Контур называется элементарным, если все его вершины различны (кроме начальной и конечной). Контур единичной дуги называется петлей.

В неориентированном графе понятие дуга, путь, контур заменяются соответственно на ребро, цепь, цикл.

Ребро – отрезок, соединяющий две вершины, цепь – последовательность ребер.

Цикл – конечная цепь, у которой начальная и конечная вершина совпадают.

Граф называется связанным, если любые его две вершины можно соединить цепью.

Граф, который не является связанным, может быть разбит на конечное число связных графов, называемых компонентами, или частями.

Ребро графа G называется мостом, если граф, полученный из G путем удаления этого ребра, имеет больше компонент связности, чем граф G.

Точкой сочленения графа называется вершина, удаление которой приводит к увеличению числа его компонент связности.

Приведём примеры использования графов.

Граф на рис. 1 изображает схему дорог между селами   и  . Здесь каждые две вершины соединены между собой ребром. Такой граф называется полным. Числа на рисунке указывают расстояния между селами по этим дорогам. Пусть в селе   находится почта и почтальон должен развезти письма в остальные четыре села. Существует много различных маршрутов поездки. Как из них выбрать наикратчайший? Проще всего проанализировать все варианты. Сделать это поможет новый граф (рис. 1, внизу), на котором легко увидеть возможные маршруты. Вершина   вверху – начало маршрутов. Из нее можно начать путь четырьмя различными способами: в  , в  , в   или в  . После посещения одного из сел остается три возможности продолжения маршрута, потом две, потом дорога в последнее село и вновь в  . Всего   способа. Все они на этом графе.

Рис. 1

Расставим вдоль его ребер цифры, обозначающие расстояния между селами, а в конце каждого маршрута напишем сумму этих расстояний по маршруту.

Из полученных 24 чисел наименьшими являются два числа по 28 км, соответствующие маршрутам   и  . Заметим, что это один и тот же путь, но пройденный в разных направлениях.

Подобные задачи возникают часто при нахождении наилучших вариантов развозки товаров по магазинам, материалов по стройкам.

В строительстве графы используются при планировании проведения работ. Граф, изображенный на рис. 2, называется сетевым графиком строительства. В данном случае он составлен для строительства жилого дома.

Рис. 2

Вершины этого графа обозначают отдельные виды работ на стройке, кроме того, есть еще две вершины: начало строительства и его окончание. Если на ребрах графа нанесены стрелочки, указывающие направление ребер, то такой граф называют направленным. Заметим, что и граф на рис. 1 тоже можно было сделать направленным, указав направление сверху вниз на каждом из ребер, что соответствовало бы направлению движения почтальона.

Стрелка от работы   к работе   на графе, изображенном на рис. 2, означает, что работа   не может начаться раньше, чем кончится работа  . Нельзя начинать монтаж стен, не закончив строить фундамент, чтобы приступить к отделке, нужно иметь на этажах воду, для сварочных работ при монтаже нужно иметь подвод электричества и т.д.

Около вершин графа указаны числа – продолжительность в днях соответствующей работы. Теперь мы можем узнать наименьшую возможную продолжительность строительства. Для этого из всех путей по графу в направлении стрелок нужно выбрать путь, у которого сумма чисел при вершинах наибольшая. Он называется критическим путем (на рис. 2 он выделен коричневым цветом). В нашем случае получаем 170 дней. А если сократить время прокладки электросети с 40 до 10 дней, то и время строительства тоже сократится на 30 дней? Нет. В этом случае критический путь станет проходить не через эту вершину, а через вершины, соответствующие строительству котлована, укладке фундамента и т.д. И общее время строительства составит 160 дней, т.е. срок сократится лишь на 10 дней.