Образец решения задач

1. Даны множества:

Найти: , , ,

Решение

2. Даны множества: , ,

Найти: , , , ,

Решение

1. 

3. Даны множества: , ,

Найти: ,

Построить диаграммы Эйлера-Венна.

Решение

Построить диаграмму Эйлера-Венна.

Построить диаграмму Эйлера-Венна.

4. Найти Гамильтонов путь от вершены 1 к вершине 5

Решение

Ответ. 1, 4, 5 или 1, 3, 5

Тема6. “Элементы математической статистики” Краткие теоретические сведения

1. Математическая статистика – это наука, изучающая случайные явления посредством

обработки и анализа результатов наблюдений и измерений.

Первая задача математической статистики – указать способы получения, группировки и обработки статистических данных, собранных в результате наблюдений, специально поставленных опытов или произведённых измерений.

Вторая задача математической статистики – разработка методов анализа статистических сведений в зависимости от целей исследования.

2. Случайную величину   будем называть генеральной совокупностью  .

Исходным материалом для изучения свойств генеральной совокупности   являются статистические данные, т.е. значения  , полученные в результате повторения случайного опыта (измерения случайной величины  ). Предполагается, что опыт может быть повторён сколько угодно раз в неизменных условиях. Это означает, что распределение случайной величины  ,  , заданной на множестве исходов  -го опыта, не зависит от   и совпадает с распределением генеральной совокупности  .

Набор   независимых в совокупности случайных величин  , где   соответствует  -му опыту, называют случайной выборкой из генеральной совокупности  . Число  называется объёмом выборки.

Совокупность чисел  , полученных в результате  -кратного повторения опыта по измерению генеральной совокупности  , называется выборкой объёма  .

В основе большинства результатов математической статистики лежит выборочный метод, состоящий в том, что свойства генеральной совокупности   устанавливаются путём изучения тех же свойств на случайной выборке.

Прежде, чем перейти к детальному анализу статистических данных, обычно проводят их предварительную обработку. Иногда её результаты уже сами по себе дают ответы на многие вопросы, но в большинстве случаев они являются исходным материалом для дальнейшего анализа.

3. Простейшее преобразование статистических данных является их упорядочивание по

величине. Выборка   объёма   из генеральной совокупности  , упорядоченная в порядке не убывания элементов, т.е.  , называется вариационным рядом:

.

Разность между максимальным и минимальным элементами выборки   называют размахом выборки.

4. Пусть выборка   содержит   различных чисел  , где   

и  , причём число   встречается в выборке   раз,  . Так бывает либо тогда, когда генеральная совокупность   - дискретная случайная величина, либо когда   - непрерывна, но её значения при измерении округляют.

Число   называют частотой элемента выборки  , а отношение   - относительной частотой этого элемента.

Статистическим рядом для данной выборки   называют таблицу, которая в первой строке содержит значения выборки   (напомним:  ), во второй строке – частоты  , а в третьей строке – относительные частоты   этих значений:

Значения			…
Частоты			…
Относительные частоты			…

Статистические данные, представленные в виде статистического ряда, называют группированными.

5. По данным дискретного вариационного ряда строят полигон частот или относительных

частот или гистограмму.

Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x₁; n₁), (x₂; n₂), ..., (x_k; n_k). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат - соответствующие им частоты n_i. Точки ( x_i; n_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот (рис. 1).

Полигоном относительных частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x₁; W₁), (x₂; W₂), ..., (x_k; W_k). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат - соответствующие им относительные частоты W_i. Точки ( x_i; W_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению  n_i / h (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии n_i / h.

Площадь i - го частичного прямоугольника равна hn_i / h = n_i - сумме частот вариант i - го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению W_i / h (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии W_i / h (рис. 2).

Площадь i - го частичного прямоугольника равна hW_i / h = W_i - относительной частоте вариант попавших в i - й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Рис. 1. Полигон частот

Рис. 2. Гистограмма относительных частот

Наиболее важными характеристиками случайной величины являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

6. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму

произведений всех её возможных значений на их вероятности.

или

Математическое ожидание приближённо равно среднему значению случайной величины.

7. Дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата

отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Отклонением называют разность между случайной величиной и её математическим ожиданием.

Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом её математического ожидания.

или

8. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называют квадратный

корень из дисперсии.

Кроме степенных средних в статистике для относительной характеристики величины пользуются структурными средними: модой и медианой.

9. Мода — это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Мода применяется, например,

при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой.

10. Медиана — это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит

этот ряд на две равные по численности части. Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала вычисляют полусумму частот   , а затем определяют, какое значение варианта приходится на нее. (Если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле: М_е = (n_{(число признаков в совокупности)} + 1)/2, в случае четного числа признаков медиана будет равна средней из двух признаков находящихся в середине ряда).

11. Из всех показателей вариации стандартное отклонение в наибольшей степени используется

    для проведения статистического анализа. Однако среднеквадратическое отклонение дает абсолютную оценку меры разбросанности значений и чтобы понять, насколько она велика относительно самих значений, требуется относительный показатель. Такой показатель существует и называется он коэффициент вариации. Формула коэффициента вариации очень проста:

Как видно, это отношение стандартного отклонения к средней величине. Данный показатель

измеряется в процентах (если умножить на 100%). Имея коэффициенты вариации, можно сравнивать однородность самых разных явлений независимо от их масштаба и единиц измерения.

В статистике принято, что, если значение коэффициента вариации менее 33%, то совокупность считается однородной, если больше 33%, то – неоднородной.