Тема 5, 6. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Задача Коші.
Для
диференціальних рівнянь другого
порядку, як і для рівнянь першого порядку,
розглядається задача
Коші або задача з початковими умовами.
Для
рівняння (1) ця задача ставиться так:
серед усіх розв’язків рівняння (1) знайти
такий розв’язок
який при
задовольняє такі умови:
або ( 6 )
де
- довільні наперед задані дійсні числа.
Умови ( 6 ) називають початковими умовами рівняння ( 1 ). Зокрема, рівняння другого порядку
початкові умови при х= х0 мають вигляд
Існування і єдність розв’язку задачі Коші визначають такою теоремою Коші.
Теорема
2. Якщо
функція
і її похідні по аргументам
то для будь – якої точки
існує єдиний розв’язок
рівняння (1), який задовольняє початкові
умови (6).
Приклад . Знайти розв’язок задачі Коші:
а)
;
б)
.
Розв’язання:
а)
Складемо характеристичне рівняння
і знайдемо його корені
За формулою ( 3 ) шуканий розв’язок має
вигляд:
Знайдемо
та
,
використовуючи початкові умови:
Знайдемо
:
.
Отже,
–
розв’язок рівняння , який задовольняє
дані початкові умови.
б)
Складемо характеристичне рівняння
і знайдемо його корені
За формулою ( 4 ) шуканий розв’язок має
вигляд:
Знайдемо та , використовуючи початкові умови:
Знайдемо
:
;
.
Отже,
– розв’язок рівняння , який задовольняє
дані початкові умови.
ПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ ДЛЯ
САМОСТІЙНОГО
ОПРАЦЮВАННЯ МАТЕРІАЛУ
Тема 1. Рівняння Бернуллі.
Завдання для самоконтролю:
1.1.
Розв’язати рівняння Бернуллі
.
Питання для самоконтролю:
1. Загальний вигляд рівняння Бернуллі.
2. Структура розв’язку рівняння Бернуллі.
Тема 2, 3. Розв’язання диференціальних рівнянь, що дозволяють знизити порядок.
Завдання для самоконтролю:
3.1.
Розв’язати рівняння
.
3.2.
Розв’язати рівняння
.
3.3.
Розв’язати рівняння
.
Питання для самоконтролю:
1. Види диференціальних рівнянь, що дозволяють знизити порядок.
2. Способи розв’язання диференціальних рівнянь, що дозволяють знизити порядок, в залежності від виду.
Тема 4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.
Завдання для самоконтролю:
4.1.
Розв’язати рівняння
.
4.2.
Розв’язати рівняння
.
4.3.
Розв’язати рівняння
.
Питання для самоконтролю:
1. Що називається характеристичним рівнянням.
2. Загальний розв’язок однорідні диференціальні рівняння другого порядку, у випадку дійсних та різних коренів характеристичного рівняння.
3. Загальний розв’язок однорідні диференціальні рівняння другого порядку, у випадку дійсних рівних коренів характеристичного рівняння.
4. Загальний розв’язок однорідні диференціальні рівняння другого порядку, у випадку комплексно спряжених коренів характеристичного рівняння.
Тема 5, 6. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Задача Коші.
Завдання для самоконтролю:
6.1.
Знайти розв’язок задачі Коші а)
;
б)
Питання для самоконтролю:
1. Задача Коші для диференціального рівняння п-го порядку.
2. Задача Коші для диференціального рівняння другого порядку.
ЛІТЕРАТУРА:
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.:Наука, 1981.
2. ДюженковаЛ.І., НосальТ.В. Вища математика. – К. : Вища школа.1991.
3. Шкіль М. І., Колесник Т. В., Котлова В.М. Вища математика. – К .:Вища школа,1984.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч.: Учебное пособие для втузов. – М.: Высшая школа, 2000.
5. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика. Практикум: Навчальний посібник. – К.: Центр навчальної літератури, 2005.
ВІДПОВІДІ ДО ЗАВДАНЬ САМОКОНТРОЛЮ:
1.1.
.
3.1.
.
3.2.
.
3.3.
.
4.1.
.
4.2.
.
4.3.
.
6.1.
а)
; б)
.