Модуль 6. Диференціальні рівняння. ( 6 годин )

Тема 1. Рівняння Бернуллі.

Тема 2, 3. Розв’язання диференціальних рівнянь другого порядку ,

що дозволяють знизити порядок.

Тема 4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого

порядку зі сталими коефіцієнтами.

Тема 5, 6. Лінійні однорідні диференціальні рівняння

другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Задача Коші.

Тема 1. Рівняння Бернуллі.

Означення.  Рівняння вигляду

(1.1)

називається диференціальним рівнянням (наявність похідних тут обов’язкова).

Означення. Найбільший порядок похідної, яка входить в диференціальне рівняння (1.1) називається порядком диференціального рівняння.

Означення. Функція , де – довільні сталі називається загальним розв’язком диференціального рівняння (1.1), якщо вона неперервна і n-раз диференційована на деякому інтервалі і задовольняє диференціальному рівнянню (1.1) .

Загальний розв’язок диференціального рівняння може бути і не розв’язаним відносно , тобто мати вигляд . В цьому випадку його називають загальним інтегралом диференціального рівняння.

Рівняння Бернуллі.

Це рівняння має вигляд

. (1.2)

Рівняння (1.2) завжди інтегрується в квадратурах шляхом підстановки

. (1.3)

Так як , то помножимо (1.2) на

.

Отримаємо диференціальне рівняння

, (1.4)

яке вже є лінійним.

При рівняння Бернуллі має особливий розв’язок . При розв’язок міститься в загальному розв’язку при . При не є розв’язком диференціального рівняння (1.2)

Приклад. Розв’язати диференціальне рівняння

.

Розв'язання. Це є рівняння Бернуллі при . Згідно алгоритму

, , .

Отже,

– загальний розв’язок нашого рівняння.

Відомо, що диференціальне рівняння

зводиться до лінійного заміною .

Тема 2, 3. Розв’язання диференціальних рівнянь, що дозволяють знизити порядок.

Одним з методів інтегрування диференціальних рівнянь другого порядку є метод пониження порядку. Суть методу полягає в тому, що за допомогою заміни змінною (підстановки) дане диференціальне рівняння зводиться до рівняння першого порядку.

Розглянемо три типи рівнянь, які допускають зниження порядку:

а) ; б) ; в) .

Рівняння а) розв’язано відносно похідної другого порядку і не містить шуканої функції та її похідної .

Рівняння б) не містить явно шуканої функції .

Рівняння в) не містить явно шуканої змінної .

Для рівняння а) порядок можна понизити безпосередньо шляхом послідовного інтегрування рівняння. Тоді інтегруємо і одержуємо

.

Далі інтегруємо отримане рівняння відносно змінної і знаходимо – загальний розв’язок даного диференціального рівняння.

Приклад 1. Розв’язати рівняння

Інтегруємо послідовно два рази дане рівняння і отримаємо:

;

;

– загальний розв’язок даного рівняння.

Приклад 2. Розв’язати рівняння

Інтегруємо послідовно два рази дане рівняння і отримаємо:

;

;

– загальний розв’язок даного рівняння.

Для розв’язування рівняння б) треба ввести допоміжну змінну , . Тоді і рівняння має вигляд , . Замінимо на і отримаємо рівняння . Для знаходження достатньо про інтегрувати останню рівність.

Загальний розв’язок рівняння буде мати вигляд .

Приклад 3. Розв’язати рівняння .

Нехай , , тоді це рівняння з відокремленим змінними . Інтегруємо його і отримаємо . Повернемося заміни і одержимо , інтегруємо .

– загальний розв’язок даного рівняння.

Для розв’язування рівняння в) треба ввести допоміжну функцію

.

Враховуючи, що залежить від і використовуючи правило диференціювання складної функції, одержимо, що

.

Тому рівняння в) прийме вигляд , тобто буде рівнянням першого порядку відносно допоміжної функції .

Після розв’язування цього рівняння треба повернутися до шуканої функції шляхом підстановки замість її значення і розв’язати одержане диференціальне рівняння першого порядку відносно .

Приклад 4. Знайти загальний розв’язок рівняння

.

Задане диференціальне рівняння не другого порядку, яке явно не містить аргументу . Тому використаємо допоміжну функцію.

та .

Після підстановки та в задане диференціальне рівняння одержимо диференціальне першого порядку

;

– рівняння з відокремленими змінними, інтегруємо

;

.

Підставимо замість її значення і одержимо диференціальне першого порядку відносно шуканої функції .

, інтегруємо і маємо ; – довільні сталі.

Звідси, – загальний розв’язок рівняння.