Контрольная работа 1

1. Вычислить определитель

1. разложив по 1 строке

2. используя основные свойства

Поменяем местами первую и четвертую строки (при этом знак определителя сменим на противоположный):

Элементы первой строки умножим на (-3) и прибавим их к соответствующим элементам второй строки. Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим их к соответствующим элементам третьей и четвертой строк:

Из второй строки вынесем множитель (-2), при этом каждый элемент данной строки делим на (-2):

Элементы второй строки умножим на 5 и прибавим их к соответствующим элементам третьей и четвертой строк:

Поменяем местами третью и четвертую строки (при этом знак определителя сменится на противоположный):

Из третьей строки вынесем множитель 16, при этом каждый элемент данной строки делим на 16:

Элементы третьей строки умножим на (-14) и прибавим их к соответствующим элементам четвертой строки:

Определитель матрицы треугольного вида (под главной диагональю стоят только нули) равен произведению элементов главной диагонали. Окончательно получим:

12. Выполнить действия над матрицами:

, , ,

Решение:

Выполним указанные действия по шагам:

1. 

2. 

3. 

21. Решить систему уравнений

1. используя формулы Крамера

2. матричным способом

Решение:

1. Решим систему с использованием формул Крамера

Вычислим главный определитель (определитель матрицы системы, составленной из коэффициентов при неизвестных):

Поскольку , то для решения данной системы можно использовать формулы Крамера.

Вычислим побочные определители (которые получаются из главного при замене столбца коэффициентов при соответствующей переменной столбцом свободных членов):

Тогда , , .

Выполним проверку найденного решения. Для этого подставим полученные значения в исходную систему:

Поскольку при подстановке все уравнения обратились в тождества, то решение найдено верно.

2. Решим систему матричным способом

Запишем систему в матричном виде , где

– матрица системы, – вектор-столбец неизвестных, – вектор-столбец свободных членов.

Тогда , т.е. для решения системы необходимо найти матрицу, обратную матрице и умножить ее на столбец свободных членов.

Поскольку определитель матрицы системы отличен от нуля ( ), то обратная матрица существует. Найдем ее.

Транспонируем матрицу (т.е. строки делаем столбцами, столбцы – строками):

.

Вычислим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы:

Запишем присоединенную матрицу:

.

Тогда

.

Найдем решение системы:

32. Решить систему уравнений методом Гаусса.

Решение:

Прямой ход метода Гаусса: запишем расширенную матрицу системы и путем эквивалентных преобразований приведем ее к трапецеидальному виду:

Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим их к соответствующим элементам второй строки. Из элементов третьей и четвертой строк вычтем соответствующие элементы первой строки:

Поменяем местами вторую и третью сроки:

Элементы второй строки разделим на (-3):

Элементы второй строки умножим на 3 и прибавим их к соответствующим элементам третьей строки. Элементы второй строки прибавим к соответствующим элементам четвертой строки:

Поменяем местами третью и четвертую строки:

Элементы третьей и четвертой сток разделим на (-1):

Обратный ход метода Гаусса: по полученной эквивалентной матрице восстановим и решим систему уравнений

Выполним проверку найденного решения. Для этого подставим полученные значения в исходную систему:

Поскольку при подстановке все уравнения обратились в тождества, то решение найдено верно.

41. Выполнить действия в алгебраической форме. Результат записать в тригонометрической и показательной форах.

Решение:

Запишем полученный результат в тригонометрической форме. Для этого найдем модуль комплексного числа и его главный аргумент.

Тогда

– тригонометрическая форма записи комплексного числа

– показательная форма записи комплексного числа

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 2

1. Доказать, что векторы , , образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

, , , .

Решение:

Составим и вычисли определитель из координат векторов , , :

Поскольку , то векторы , , линейно независимы, т.е. образуют базис.

Запишем разложение вектора по базису , , :

Решим полученную систему по формулам Крамера. Главный определитель вычислен выше: .

Вычислим побочные определители:

Тогда , , .

Таким образом,

12. По координатам точек , и для указанных векторов найти:

1. модуль вектора

2. скалярное произведение векторов и

3. проекцию вектора на вектор

4. координаты точки , делящей отрезок в отношении 2:3

, ,

Решение:

1. Найдем координаты векторов и :

Найдем координаты вектора :

Находим его модуль:

2. Найдем координаты вектора :

Находим скалярное произведение векторов и :

3. Вектор , .

Для нахождения проекции вектора на вектор воспользуемся формулой

.

Для этого вычислим скалярное произведение векторов и и модуль вектора :

Тогда

4. Для нахождения координат точки , делящей отрезок в отношении 2:3 воспользуемся формулами:

21. Даны вершины треугольника , , . Найти:

1. уравнение стороны ;

2. уравнение высоты ;

3. уравнение медианы ;

4. точку пересечения медианы и высоты ;

5. уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно стороне ;

6. расстояние от точки до прямой .

, ,