3.8. Асимптоты графиков функций

Пусть f(x) – некоторая функция, тогда для нахождения асимптот этой функции используются следующие формулы.

1. Прямая, заданная уравнением х = а, является вертикальной асимптотой, если

.

2. Прямая, заданная уравнением y = kx+b, является наклонной асимптотой, если

.

При этом указанные пределы могут быть различными при х  +  (для правой наклонной асимптоты) и при х  – (для левой наклонной асимптоты).

При k = 0 получаем горизонтальную асимптоту.

Пример 3.11. Построить эскизы графиков функций:

1) ; 2) y = ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

Решение

1) .

1) О.Д.З.: .

2) Функция не является ни четной, ни нечетной, так как

.

3) Найдем точки пересечения с осью OY:

пусть , тогда

точка – точка пересечения графика с осью OY.

4) Найдем точки пересечения с осью OX:

пусть

Уравнение решений не имеет график функции не пересекает ось OX.

5) Найдем промежутки постоянства знака значений функции.

Отметим на числовой прямой точки, в которых числитель и знаменатель равны нулю, и определим знаки получившихся интервалов:

6) Найдем асимптоты графика функции.

– уравнение вертикальной асимптоты.

Найдем наклонную асимптоту по формуле:

,

где ;

;

Тогда – уравнение наклонной асимптоты.

Найдем точки пересечения наклонной асимптоты с осями координат:

x	0	4
y	–8	0

7) Построим эскиз графика (рис. 3.37).

Рис. 3.37

2. .

1) О.Д.З.: .

2) Функция не является ни четной, ни нечетной, так как

.

3) Найдем точки пересечения с осью OY:

пусть , тогда

точка – точка пересечения графика с с осью OY.

4) Найдем точки пересечения с осью OX:

пусть , тогда

Следовательно, точки – точки пересечения с графика осью OX.

5) Найдем промежутки постоянства знака значений функции.

Отметим на числовой прямой точки, в которых числитель и знаменатель равны нулю, и определим знаки получившихся интервалов

6) Найдем асимптоты графика функции.

– уравнение вертикальной асимптоты.

Найдем наклонную асимптоту по формуле:

,

где ;

Тогда, – уравнение наклонной асимптоты.

Найдем точки пересечения наклонной асимптоты с осями координат:

x	0
y		0

7) Построим эскиз (рис. 3.38)

Рис.3.38

3) .

1) ОД.З.: .

2) Найдем точки пересечения с осями координат:

пусть x = 0, тогда

точка – точка пересечения графика функции с осью OY.

Пусть y = 0, тогда x = 1;

Точка (1, 0) –точка пересечения графика с осью ОХ.

3) Найдем промежутки постоянства знака значений функции.

Отметим на числовой прямой точки, в которых числитель и знаменатель равны нулю, и определим знаки получившихся интервалов:

4) Найдем асимптоты функции.

=  => – уравнение вертикальной асимптоты.

Наклонную асимптоту находим по формуле

y = kx + b,

где k = = = 0;

b = ;

Следовательно, – уравнение горизонтальной асимптоты.

5) Строим эскиз графика (рис. 3.39).

Рис. 3.39

4) .

1) О.Д.З.: x  (–, –1)  (–1, ).

2) Найдем точки пересечения с осями координат.

Пусть x = 0, тогда y = –3

Точка (0, –3) – точка пересечения графика с осью OY.

Пусть y = 0, тогда x² + 2x + 3 = 0;

D = 4 – 4  3 = 4 – 12 = –8 < 0 – корней нет => график функции ось ОХ не пересекает

3) Найдем промежутки постоянства знака значений функции.

Отметим на числовой прямой точки, в которых числитель и знаменатель равны нулю, и определим знаки получившихся интервалов:

4) Найдем асимптоты функции.

=  => x = –1 – уравнение вертикальной асимптоты.

Наклонную асимптоту находим по формуле:

y = kx + b,

где k = = –1;

b = = = = = –1;

Тогда, y = – x – 1 – уравнение наклонной асимптоты.

5) Строим эскиз графика (рис. 3.40).

Рис. 3.40

5) .

Раскроем модуль:

1)О.Д.З.: .

2) Найдем точки пересечения с осями координат.

Пусть x = 0, тогда y =

Точка – точка пересечения графика с осью OY;

Пусть y = 0 , тогда |x – 1| = 0 x = 1.

Точка (1, 0) – точка пересечения графика с осью ОХ.

3)Найдем промежутки постоянства знака значений функции.

Отметим на числовой прямой точки, в которых числитель и знаменатель равны нулю, и определим знаки получившихся интервалов:

4) Найдем асимптоты функции.

=  => – уравнение вертикальной асимптоты.

Правую наклонную асимптоту найдем по формулам:

k = = = 0;

b = = .

Следовательно, – уравнение правой горизонтальной асимптоты.

Найдем левую наклонную асимптоту:

k = = = 0;

b = = .

Следовательно, – уравнение левой горизонтальной асимптоты.

5) Строим эскиз графика (рис. 3.41).

Рис. 3.41

6) .

1 ) Найдем О.Д.З.: 4x² – 9 > 0 (2x – 3)(2x + 3) > 0.

О.Д.З.: x   .

2) Найдем точки пересечения с осями координат.

Пусть y = 0, тогда 1 – x² = 0 x₁ = 1 и x₂ = –1

Точки x₁ = 1 и x₂ = –1 не принадлежат области определения функции, следовательно, график функции не пересекает ось ОХ.

x = 0  О.Д.З.  график ось ОY не пересекает.

3) Найдем промежутки постоянства знака значений функции.

Отметим на числовой прямой точки, в которых числитель и знаменатель равны нулю, и определим знаки получившихся интервалов:

4) Найдем асимптоты.

=  и =  x = – , x = – уравнения вертикальных асимптот.

Правая и левая наклонные асимптоты различны.

Найдем правую наклонную асимптоту:

k = = ;

b = = = = = = 0.

Следовательно, – уравнение правой наклонной асимптоты.

Функция – четная, так как , следовательно, график этой функции симметричен относительно оси ОY.

Тогда – уравнение левой наклонной асимптоты.

5) Строим эскиз графика (рис. 3.42).

Рис. 3.42