3.7. Непрерывность функций

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если:

1) функция определена в некоторой окрестности точки х₀, т.е. существует число , такое, что ;

2) существует конечный предел функции f(x) при х  х₀

( f(x));

3) предел f(x) равен значению функции в этой точке, т.е.

= f(x₀).

Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области, то она непрерывна в этой области.

Точки разрыва

Если в точке х₀ нарушено хотя бы одно их этих условий, то х₀ называется точкой разрыва функции y = f(x), при этом различают три следующих вида точек разрыва.

1. Точка х₀ – точка устранимого разрыва, если существуют конечные пределы справа и слева ( f(x) и f(x)) и они равны между собой, но не равны значению функции в точке х₀, либо функция не определена в данной точке.

В этом случае достаточно изменить значение функции только в одной точке , чтобы получить новую функцию уже непрерывную в точке .

Приведем пример функции, имеющей точку устранимого разрыва:

;

х = 0 – точка разрыва.

x = 0 – устранимый разрыв.

2. Точка х₀ – точка разрыва I рода, если существуют конечные пределы справа и слева при x , но они не равны между собой:

¹ .

Приведем пример функции, имеющей точку разрыва I рода:

;

х = 1 – точка разрыва (рис. 3.35).

Рис. 3.35

= =1;

= = –1;

 f(x) => x=1 – точка разрыва I рода.

3. В остальных случаях имеем разрыв II рода.

Пример функции, имеющей разрыв II рода:

y = ;

х = 0 – точка разрыва (рис. 3.36).

Рис. 3.36

= +; = –;

х = 0 – точка разрыва II рода.

Свойства функций, непрерывных в точке.

1)Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке , то функции f(x)+g(x), и (при условии ) непрерывны в точке .

2)Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , причем , то в некоторой окрестности точки определена сложная функция и эта функция непрерывна в точке .

3) Если функция f(x) непрерывна в точке , то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

1) Если функция f(x) непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения противоположные по знаку, т. е. , то на интервале существует по крайней мере одна точка, в которой функция обращается в ноль.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке и , то для любого числа на интервале найдется по крайней мере одна точка с , в которой .

3) Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то она ограничена на нем.

4) Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то она на этом отрезке принимает свое наименьшее и наибольшее значения.

Пример 3.10.

Найти точки разрыва следующих функций, определить характер разрыва: a) ; б) ;

в) .

Решение

а)

В точке х = –1 функция не определена, следовательно, х = –1 – точка разрыва функции

Раскроем модуль:

Найдем пределы функции при и при

= –1;

= 1;

¹  x = –1 – точка разрыва I рода.

б)

В точках x = 2 и x = 1 функция не определена, следовательно, x = 2 и x = 1 – точки разрыва функции.

Найдем пределы функции при и при :

= =.

Найдем пределы функции при и при :

= = ;

Следовательно, x = 1 и х = 2 – точки разрыва II рода.

в) .

В точках x = -2 и x = -1 функция не определена, следовательно, x = -2 и x =- 1 – точки разрыва функции.

Найдем пределы функции при и при :

= .

Следовательно, точка x = -2- устранимого разрыва. В этой точке мы можем доопределить функцию до непрерывной следующим образом:

Найдем пределы функции при и при :

= = ;

Следовательно, x = - 1 – точка разрыва II рода.

Итак, x = -2- точка устранимого разрыва. x = - 1 точка разрыва II рода.