Замечательные пределы

Частое применение находят следующие пределы:

– первый замечательный предел;

= e – второй замечательный предел,

или

Арифметика бесконечностей

Пусть с = const, с  0, тогда:

1) с   = ; 5) – –  = –;

2) 6) (+)^с = +;

3) ; 7) (+)^+ = +;

4) + +  = +; 8) .

Неопределенности

Если при вычислении пределов получается выражение вида

,

называемое неопределенностью, то необходимо с помощью преобразований избавиться от этих неопределенностей.

Бесконечно малые функции.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x₀. Функция (x) называется бесконечно малой при x  x₀, если

.

Свойства бесконечно малых функций.

1)Сумма (разность) двух бесконечно малых функций при x  x₀ есть бесконечно малая функция при x  x₀.

2)Произведение бесконечно малой функции при x  x₀ на ограниченную в некоторой проколотой окрестности точки x₀ функцию есть бесконечно малая функция при x  x₀.

Из определения предела функции следует, что число а является пределом функции f(x) в точке тогда и только тогда, когда эта функция представима в виде , где (x) бесконечно малая функция при x  x_0.

Сравнение бесконечно малых функций

Пусть функции и - бесконечно малые функции при x  x_0.

Бесконечно малые при x  x₀ функции и называются эквивалентными_, если предел их отношения при x  x₀ равен единице, т. е.

~ 1.

Бесконечно малые при x  x₀ функции и называются сравнимыми, если существует хотя бы один из пределов или .

Бесконечно малые при x  x₀ функции и называются бесконечно малыми одного порядка малости _, если

c .

Бесконечно малая при x  x₀ функция называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем бесконечно малая _, если

0.

Обозначение: .

Бесконечно малая при x  x₀ функция имеет порядок малости r (r>0) относительно бесконечно малой _, если

c .

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Пусть (x)  0, тогда

sin (x) ~ (x)

tg (x) ~ (x)

1 – cos  (x) ~

arcsin  (x) ~  (x)

arctg  (x) ~  (x)

a^(x) – 1 ~  (x) ln a

e^(x) – 1 ~  (x)

log_a (1 +  (x)) ~  (x) log_a e

ln (1 +  (x)) ~  (x)

(1 +  (x))^m – 1 ~ m  (x)

Если (x), (х) – бесконечно малые фуекции и (x) ~ ₁(x), a (х) ~ ₁(х) при x  x₀, то:

При вычислении предела частного двух бесконечно малых одну из них или обе можно заменить эквивалентными им бесконечно малыми.

Самые распространенные ошибки при вычислении предела некоторого выражения заключаются в замене функции на эквивалентную бесконечно малую в случае, если функция не стремится к нулю, а также в замене функции, не являющейся множителем всего выражения, на эквивалентную функцию ( чаще всего такая ошибочная замена делается в отдельном слагаемом алгебраической суммы).

Например, нельзя заменить бесконечно малую при функцию на функцию , так как при функция не стремится к нулю. Также нельзя в пределе заменить функции и на эквивалентную им бесконечно малую при функцию .

Пример 3.9. Вычислить пределы функций:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ;

6) ; 7) ;

8) ; 9) ;

10) ; 11) ;

12) ; 13) ;

14) ; 15) ; 16) ;

17) ; 18) ; 19) ;

20) ; 21) ; 22) ;

23) ; 24) ; 25) ;

26) ;27) ;

28) ; 29) ;

30) ; 31) ; 32) ;

33) ; 34) ;

35) ; 36) ;

37)

Решение

1) .

2) = .

3)  =

= .

4)  = = .

5)  = = .

6)  = = .

7)  = = = .

8)

9)  = = = .

10)  = = .

11)

12) .

Разложим числитель и знаменатель на множители:

x3 + x – 2	x – 1	x3 – x2 – x + 1	x – 1
x3 – x2	x2 + x + 2	x3 – x2	x2 – 1
x2 + x – 2		–x + 1
x2 – x		–x + 1
2x – 2		0
2x – 2
0

= = .

13) = = = .

14)

15)  = = = =

16)  = = .

17)  = .

18)  = = = = = = 0.

19) = –1.

20) .

21) .

22) .

23)  = = .

24) .

25)

26)  = = = .

27)

28)

29) 

30)  = = = .

31) 

32) 

33) 

34) 

x³ – 4x² + 5 |x + 1

x³ + x² x² – 5x + 5

–5x² + 5

–5x² – 5x

5x + 5

5x + 5

0

35)

36) .

37)