3.6. Предел функции
Любой интервал,
содержащий точку
называется окрест- ностью точки
.
Интервал
=
называется
-
окрестностью точки.
.
Интервал
(x0)=
называется
проколотой
-
окрестностью точки.
.
Функция f(x),
называется ограниченной в
окрестности
точки
,
если существует такое число М>0,
что
, для любого .
Определение предела функции.
1. По Коши.
Пусть функция y
= f(x)
определена в некоторой проколотой
окрестности
точки x0, где r
> 0 – некоторое число, тогда:
Число a называется пределом функции f(x) в точке х0 и обозначается
,
если
для любого положительного числа
(>0)
существует такое положительное число
(),
зависящее от ,
такое что для всех х
и удовлетворяющих неравенству
0 < |x – x0| < (),
будет верно неравенство |f(x) – a|
< .
Или с помощью логических символов:
.
Также определение предела функции можно записать, используя понятие окрестности:
.
2. По Гейне.
Пусть функция y
= f(x)
определена в некоторой проколотой
окрестности
точки x0, тогда
число a называется
пределом функции f(x)
в точке х0. если для любой
последовательности
значений аргумента х
,
сходящейся к точке х0,
соответствующая последовательность
значений функции
сходится
к числу а.
Бесконечно большие функции.
Пусть функция y
= f(x)
определена в некоторой проколотой
окрестности
точки x0. Тогда
функция f(x)
имеет в этой точке бесконечный предел
(
),
если для любого сколь угодно большого
числа Е > 0 существует такое число
(Е) > 0 и
зависящее от Е, такое, что для х
,
из условия 0 < |x – x0| < (Е)
следует условие | f(x)|
> E.
Или с помощью логических символов:
.
Если , то функцию f(x) называют бесконечно большой.
Односторонние пределы.
Пусть функция y = f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x0.
Число а
называется пределом функции при
х x0 + 0
справа (
),
если для > 0
() > 0,
такое что для х
из условия 0 < x – x0 < ()
следует |f(x)
– a| < .
Число а
называется пределом функции при
х x0 – 0
слева (
),если
для > 0
() > 0,
такого что для х
из условия –() < x – x0 < 0
следует |f(x) –
a| < .
Предел в бесконечности.
Пусть функция y
= f(x)
определена для всех x,
таких что
.
Число а
называется пределом функции при х
(
),
если для
> 0 ()
> 0, такое что для
х из условия |x| > ()
следует неравенство |f(x)
– a| < .
.
Основные теоремы о пределе функции.
1) Пусть при
существуют
конечные пределы функций
и
.
Тогда при
,
существуют также пределы суммы, разности
и произведения этих функций, при этом:
(f1(x)
f2(x))
=
f1(x)
f2(x);
(f1(x) f2(x)) = f1(x) f2(x);
Если, кроме того,
,
то существует предел частного этих
функций и
2)Если при функция f(x) имеет предел, то этот предел единственный.
3) Если
для
всех х
,
и функции
и
имеют в точке
предел, то
.
3)Если
для
всех х
,
и функции
и
в точке
имеют
один и тот же предел, равный а, то и
функция
в точке
имеет
предел, равный этому же числу.
=
=
.
4) Если функция f(x), определенная в окрестности точки , имеет в этой точке конечный предел, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.