Решение рациональных неравенств методом интервалов
Для решения
неравенств вида
применяют метод интервалов,
который заключается в следующем:
1) Перенесем
в правую часть и приведем получившееся
выражение к общему знаменателю:
;
.
2) Найдем нули числителя и знаменателя:
A(x) D(x) – C(x) B(x) = 0;
B(x) D(x) = 0.
3) Пусть х1, х2, …хn – нули числителя и знаменателя, причем х1 < x2 < … < xn. Расставим эти точки на координатной оси и отметим знаки получившихся интервалов:
Для того чтобы определить знак интервала, берем любое число из этого интервала и подставляем его в исходное неравенство. Затем выбираем промежутки с нужным знаком.
Пример
3.6. Решить неравенство
.
Решение
1)Найдем нули числителя:
х2(х – 4) (х – 1) = 0.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
х = 0 или х = 4 или х = 1,
2)Найдем нули знаменателя:
(х + 4)5 (х – 3)4 = 0,
х = –4 или х = 3.
Отметим на числовой прямой точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль, и определим знаки получившихся интервалов:
В интервале (4, +) возьмем число 5, подставим его в исходное неравенство и определим знак неравенства:
,
т. е. на интервале (4, +) данное выражение имеет знак «+».
Заметим, что при переходе через точку 0, которая является корнем числителя кратности два и через точку 3, которая является корнем знаменателя кратности 4, знак неравенства не меняется. Остальные точки являются корнями числителя или знаменателя нечетной кратности, поэтому при переходе через эти точки знак неравенства меняется на противоположный.
х (–; –4) [1, 3) (3, 4].
Пример 3.7. Решить неравенства:
а) |3x + 1| < 2;
б)
.
Решение
а) |3x + 1| < 2;
– 2 < 3x + 1 < 2;
– 1 < x
<
;
Следовательно,
.
б) .
Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и нули знаменателя:
(х – 1)(х + 1)2 = 0,
х1 = 1 и х2 = –1 – нули числителя;
(х + 2)2 (х – 3) = 0,
х3 = – 2, х4 = 3 – нули знаменателя.
Отметим на числовой прямой точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль, и определим знаки получившихся интервалов:
Следовательно,
.
3.5. Предел последовательности
Последовательностью
действительных чисел называется
числовая функция
,
определенная на множестве всех натуральных
чисел. Аргумент этой функции обозначается
n, а сама функция -
.
Таким образом, числовая последовательность
задана, если указан закон, по которому
каждому натуральному числу n
ставится в соответствие определенное
число
.
Числа
называются членами последовательности.
Принято обозначать последовательность
символом:
.
Последовательность
называется ограниченной снизу, если
существует число m
такое, что
.
Последовательность
называется
ограниченной сверху, если существует
число M такое, что
Последовательность называется ограниченной, если
существуют
такие числа m и M
, что
.
Число
А называется пределом
последовательности
,
если любого положительного числа
существует такое натуральное число N
, что при всех n>N
выполняется неравенство:
.
Обозначение:
С помощью логических символов определение предела последовательности записывается следующим образом:
.
Последовательность называется бесконечно большой, если любого сколь угодно большого числа Е существует такое натуральное число N , что при всех n>N выполняется неравенство:
.
Или с помощью логических символов:
.
Последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел, и расходящейся, если она предела не имеет.
Последовательность
называется возрастающей, если для
любого n выполнено
неравенство
.
Последовательность
называется убывающей, если для
любого n выполнено
неравенство
.
Последовательность
называется неубывающей, если для
любого n выполнено
неравенство
.
Последовательность
называется невозрастающей, если
для любого n выполнено
неравенство
.
Последовательность
называется монотонной, если она
возрастающая, убывающая, невозрастающая
или неубывающая
Основные теоремы о сходящихся
последовательностях.
1)Последовательность не может иметь двух различных пределов.
2)Сходящаяся последовательность ограничена.
3)Если
последовательности
и
сходятся, то сходятся и последовательности
;
,
причем
;
.
Если,
кроме того,
и
,
то последовательность
также сходится и
.
4)Если
для последовательностей
,
и
,
начиная с некоторого номера, выполняется
неравенство
и
=А,
то
4) Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел (теорема Вейерштрасса).
Пример 3.8. Вычислить пределы последовательностей:
1)
;
2)
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
Решение
1)
=
=
=
=
=
=
=
=
.
2)
=
=
=
=
.
3)
=
=
=
=
=
.
4)
=
=
=
=
=
=
=
.
5)
=
=
=
.
6) =
=
=
=
=
1. 7) 
=
8) 
