3.3. Преобразование графиков

Зная график любой функции y = f(x), можно легко построить графики следующих функций, полученных с помощью преобразований.

1. График функции y = f(x) + c получается из графика функции y = f(x) параллельным переносом вдоль оси OY. Если с>0 , то перенос совершается вдоль оси ординат на расстояние с вверх, а если с< 0, то вниз на расстояние |c| . (рис. 3.23.)

Рис. 3.23

2. График функции y = f(x +a) получается из графика функции

y = f(x) параллельным переносом вдоль оси OX. Если a>0 , то график переносится вдоль оси абсцисс влево на расстояние a , а если a< 0, то вправо на расстояние |a| . (рис 3.24)

Рис. 3.24

3. График функции y = f(–x) получается из графика функции y = f(x) зеркальным отражением относительно оси OY (рис. 3.25).

Рис. 3.25

4. График функции y = –f(x) получается из графика функции y = f(x) зеркальным отражением относительно оси OX (рис. 3.26).

Рис. 3.26

5. График функции y = af(x), где а>0, получается из графика функции y = f(x) сжатием или растяжением вдоль оси OY. Если a>1, то происходит растяжение в a раз, а если 0<a<1, то сжатие в 1/a раз, вдоль оси ординат.

6. График функции y = f(bx), где b>0, получается из графика функции y = f(x) сжатием или растяжением вдоль оси OX. Если b>1, то происходит сжатие в b раз, а если 0<b<1, то растяжение в 1/b раз, вдоль оси абсцисс.

7. График функции y = |f(x)| получается, если часть графика функции y = f(x), расположенную ниже оси OX , симметрично отобразить относительно этой оси, а остальную часть оставить без изменений.

8. График функции y = f(|x|) получается, если стереть часть графика функции y = f(x), расположенную слева от оси OY, оставить часть графика функции y = f(x), лежащую справа от оси OY, а затем, в область x<0 симметрично относительно оси OY отобразить область .

Пример 3.1. Построить графики следующих ниже функций, используя графики основных элементарных функций. а) y = – log₂(x – 1); б) ; в) y = |–x² + x| – 2.

Решение

а) y = – log₂(x – 1).

1) Строим график функции y = log₂ x (рис. 3.27).

Рис. 3.27

2) Сдвигаем его на 1 вправо вдоль оси OX – получаем график функции y = log₂(x – 1) (см. рис. 3.27).

3) отображаем его зеркально относительно оси OX – получаем график искомой функции.

б) .

Преобразуем функцию:

.

1) Строим график функции (рис. 3.28.).

2) Сжимаем его вдоль оси OY в восемь раз – получаем график искомой функции (см. рис. 3.28).

Рис. 3.28

в) y = |– x² + x| – 2.

1 способ

Раскроем модуль:

Решим неравенство ;

.

Тогда

1) y = – x² + x – 2 – парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы:

; .

– полученные координаты.

Найдем точки пересечения с осью ОХ:

– х² + х – 2 = 0;

х² – х + 2 = 0;

D = 1 – 4  2 = – 7 < 0  корней нет  парабола ось ОХ не пересекает.

2) у = х² – х – 2 = 0 – парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы:

;

полученные координаты.

Найдем точки пересечения с осью OX:

x² – x – 2 = 0; D = 1 + 8 = 9; x = ; x₁ = 2; x₂ = – 1.

Построим график функции (рис. 3.29)

Рис. 3.29

2 способ

1) Графиком функции – является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы:

;

.

– полученные координаты.

Найдем точки пересечения с осью OX:

y = 0  ;

;

x = 0 или ;

(0, 0), (1, 0) – получили точки пересечения с осью ОХ.

Построим график функции (рис. 3.30).

Рис. 3.30

2) Строим график функции . Для этого часть графика, которая лежит ниже оси OX, отобразим зеркально относительно оси OX (рис. 3.31).

Рис. 3.31

3) Строим график функции , для этого график функции сдвинем на 2 единицы вниз (рис. 3.32).

Рис. 3.33

г) y = .

1) Строим график функции (рис. 3.34).

2) Отображаем зеркально относительно оси OY – получили график функции (см. рис. 3.34).

3) Сдвигаем его на 2 единицы влево вдоль оси OX – получили искомый график (см. рис. 3.34).

Р ис. 3.34

3.4. Сведения из элементарной математики

Действия с многочленами

Разложение многочленов на множители

Многочлен вида a_nxⁿ + a_n–1x^n–1 … + a₀ можно разложить на множители по формуле:

a_nxⁿ + a_n–1x^n–1 +… + a₀ = a_n(x – x₁) (x – x₂)…(x – x_n),

где x_1, x₂, …x_n – корни этого многочлена.

Деление многочленов

1. Дробь вида можно разложить на сумму дробей по формуле:

2. Деление многочлена на многочлен можно выполнить с остатком, подобно тому, как это делается при делении целых чисел.

При делении многочлена на многочлен делят старший член многочлена-делимого на старший член многочлена-делителя, а затем частное от этого деления умножают на многочлен-делитель, и это произведение вычитают из многочлена-делимого. Затем повторяют то же самое до тех пор, пока деление не закончится или степень остатка не станет меньше степени многочлена-делителя.

Пример 3.2.

Разделить многочлен 2x³ – 3x + 1 + 3x² на многочлен x + 2.

Решение

1) Записываем оба многочлена по убыванию степеней:

2x³ + 3x² – 3x + 1 |x + 2

2) Делим первый член делимого 2x³ на первый член делителя х. Результат 2х² – есть первый член частного:

2х³ + 3х² – 3х + 1 |х + 2

2х²

3) Умножаем полученный член 2х² на делитель х + 2, результат записываем под делимым:

2х³ + 3х² – 3х + 1|х + 2

2х³ + 4х²  2х²

4) Вычитаем члены результата из соответствующих членов делимого, сносим следующий по порядку член делимого:

2х³ + 3х² – 3х + 1 |х + 2

2х³ + 4х² 2х²

–х²– 3х

5) Делим получившийся первый член (–х²) на первый член делителя х. Результат (–х) есть второй член частного:

2х³ + 3х² – 3х + 1 |х + 2

2х³ + 4х² 2х² – х

–х² – 3х

6) Умножаем полученный член (–х) на делитель х+2, результат записываем под делимым. Вычитаем члены результата из соответствующих членов делимого, сносим следующий по порядку член делимого:

2х³ + 3х² – 3х + 1 |х + 2

2х³ + 4х² 2х²–х

–х² – 3х

–х² – 2х

–х+1

7) Делим получившийся первый член (–х) на первый член делителя х. Результат (–1) есть третий член частного. Затем проделаем те же действия, что и в первых двух случаях:

2х³ + 3х² – 3х + 1 |х + 2

2х³ + 4х² 2х² – х – 1

–х² – 3х

–х² – 2х

–х + 1

–х – 2

3

Получили остаток 3. Степень его меньше степени делителя. Деление закончено. Следовательно,

.

Пример 3.3. Разделить многочлен 2х⁴ + х³ – 10х² – 7х + 2 на многочлен х² + 3х + 2.

Решение

2х⁴ + х³ – 10х² – 7х + 2 |х² + 3х + 2

2х⁴ + 6х³ + 4х² 2х² – 5х + 1

–5х³ – 14х² – 7х

–5х³ – 15х² – 10х

х² + 3х + 2

–х² + 3х + 2

0

т.е. .

Пример 3.4. Разделить многочлен – х⁴ + х³ + 2х² + 3х – 1 на многочлен x² + 3x – 1.

Решение

Разделим многочлен – на многочлен столбцом:

–х⁴ + х³ + 2х² + 3х – 1 |x² + 3x – 1

–x⁴ – 3x³ + 3x –x² + 4x – 11

4x³ + x² + 3x

4x³ + 12x² – 4x

–11x² + 7x – 1

–11x² – 33x + 11

40x – 12

– целая часть; 40x – 12 – остаток.

Тогда .

Пример 3.5. Разложить на множители многочлены: а)(– х + 1)² – (2х + 3)²;

б) (–х + 1)³ + (2х + 3)³.

Решение

а) (–х + 1)² – (2х + 3)² = (–х + 1 – 2х – 3) (–х + 1 + 2х + 3) = = (– 3х – 2) (х + 4).

б) (–х + 1)³ + (2х + 3)³ = (–х + 1 + 2х + 3)((–х + 1)² – (–х + 1)   (2х + 3) + (2х + 3)²) = (х + 4)(х² – 2х + 1 – (– 2х² + 2х – 3х + 3) + 4х² + + 12х + 9) = (х + 4)(х² – 2х + 1 + 2х² – 2х + 3х – 3 + 4х² + 12х + 9) = = (х + 4) (7х² + 11х + 7).