Условие домашнего задания

Задача 1. Найти производные следующих функций: а) y = ax⁴ + bx³ + cx² + d + f в точке х₀ = k; б) в точке x₀ = f; в) в точке х₀ = 1; г) в точке х₀ = 0; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ; к) ; л) ; м) ; н) ; о) ; п) ; р) ; с) .

Задача 2. Написать уравнения касательной и нормали к графикам функций: а) в точке х₀ = 0; б) в точке х₀ = d.

Задача 3. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Задача 4. Провести полное исследование следующих функций и построить их графики: а)у = (ax – b)² (cx – d);

б) ; в) ; г) ; д) .

Задача 5. Разложить многочлен dx⁴ + kx³ + mx² + bx + a по формуле Тейлора в точке х₀ = 2.

4. 8. Вопрсы для самопроверки

1) Дать определение производной функции в точке.

2) Продолжить формулы:

3) Найти производные следующих функций:

а)  б) y = 2^x + sinx;

в) y = log₃x + 4.

4). Продолжить формулы:

(log_a x)'= …; (arctg x)'= …;

(arcsin x)'= …; (arcctg x)'= …;

(arccos x)'= ….

5)Написать правило нахождения производной сложной функции.

6) Найти производные следующих функций:

а) y = sin 2x; б) 

в) y = tg²x.

7) Дать определение логарифмической производной.

8) Найти производные следующих функций:

а)  б) y = arcsin²(4x² – 1);

в)  г) y = cosx^{arcsin x}.

9). В чем заключается геометрический смысл производной функции в точке?

10) Написать уравнение касательной и нормали к графику функции:

а)  в точке х₀ = 4;

б) x = ln x в точке х₀ = е;

в)  в точке х₀ = 1.

11) Дать определение дифференциала 1-го порядка.

12) Написать формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

13). Найти дифференциал 1-го порядка для следующих функций:

1)  2) 

3) 

14) Найти первую производную функции:

а) ;

б)y= ;

в) ;

г) .

15) Найти первую производную функции, заданной неявно .

16) Найти для функции, заданной параметрически:

.

17) Выяснить будет ли функция

дифференцируемой в точке х₀ =-4 (ответ обосновать).

18) Вычислить первую производную функции:

а) ;

б) .

19)Написать уравнение касательной и нормали к графику функции: в точке х₀ = 0.

20) Написать уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке х₀ = 1.

20) Выяснить будет ли функция

непрерывной и дифференцируемой в точке х₀ = 0 (ответ обосновать).

21)Формула Лейбница. Найти десятую производную функции:

а) ;

б) .

22)Выяснить будет ли функция дифференцируемой в точке х₀ =1 (ответ обосновать).

23) Дать определение монотонной функции. Сформулировать достаточное условие монотонности функции. Найти точки экстремума и интервалы монотонности функции .

24) Дать определение убывающей функции.

25) Сформулировать необходимое условие локального экстремума функции в точке

26) Сформулировать достаточные условия локального экстремума функции в точке.

27) Найти интервалы возрастания, убывания и точки экстремума для следующих функций:

а) 

б) 

в) 

28)  Сформулировать достаточные условия существования точки перегиба.

29) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [ 1; 5 ].

30) Найти промежутки возрастания и убывания, точки экстремума и нарисовать график функции .

31) Сформулировать теорему Коши.

32) Проверить справедливость теоремы Коши для функций и на отрезке [1; 2].

33)Сформулировать теорему Ролля.

34)Проверить справедливость теоремы Ролля для функции y=|x+3| на отрезке [-4; -2].

35) Сформулировать теорему Лагранжа.

36) Написать формулу Лагранжа для функций на отрезке[1; e].

37) Написать формулу Тейлора третьего порядка для функции y = в окрестности точки х₀ =-1.

38) Сформулировать правило Лопиталя.

39)С помощью правила Лопиталя вычислить пределы:

а)  б)  в)  г) .

40)Построить график функции с полным исследованием.

41) Вычислить предел : .